02 - Granična vrednost funkcije dve promenljive
Granična vrednost funkcije dve promenljive
Usvajanje pojma granične vrednosti i neprekidnosti funkcije dve promenljive
  • Definicija granične vrednosti
  • Primer 1
  • Primer 2
  • Hajneova definicija granične vrednosti
  • Određivanje dve uzastopne granične vrednosti
02
Definicija granične vrednosti
Za granične vrednosti funkcije dve ili više promenljivih važe analogni stavovi kao za granične vrednosti funkcije jedne promenljive.
Da bismo definisali graničnu vrednost funkcije dve promenljive potrebno je, najpre, definisati pojam okoline tačke $ A ( x _ 0 , y _ 0 ) . $

$\textbf{ Definicija. } $ Proizvoljan skup tačaka u ravni se naziva $\color{red} {\text{okolina tačke}}$ $ A ( x _ 0 , y _ 0 ) $ ako i samo ako sadrži unutrašnjost kruga sa centrom u tački $ A $ poluprečnika $\varepsilon , $ gde je $ \varepsilon $ pozitivan broj.

Specijalno, unutrašnjost kruga sa centrom u tački $A$ poluprečnika $\varepsilon,$ zovemo $\color{red} {\varepsilon-\text{okolinom tačke}}$ $A$. Označavaćemo je sa $U_{\varepsilon} (A).$

$\textbf{ Definicija. } $ Broj $ b $ se naziva $\color{red} {\text{granična vrednost funkcije}}\,\,\,$ $ z = f ( x , y ) , $ kada $ x \to x_0 , $ $ y \to y_0 $ ako za svako $ \varepsilon > 0 $ postoji $ \delta $-okolina tačke $ A ( x _ 0 , y _ 0 ) $ takva da za sve tačke iz te okoline, osim možda u tački $ A , $ važi nejednakost $$ \big | f ( x , y ) - b \big | < \varepsilon. $$ Tada pišemo $$ \lim \limits _ { ( x , y ) \to ( x _ 0 , y _ 0 ) } f ( x , y ) = b , \quad\text{ ili }\quad \lim \limits_{ \substack{ x \to x _ 0 \\ y \to y _ 0 } } f ( x , y ) = b . $$ Analogno se može definisati i granična vrednost funkcije tri i više promenljivih.

Napomena. Ako granična vrednost funkcije dve promenljive postoji u nekoj tački, ona mora davati istu konačnu vrednost, bez obzira kako joj prilazimo. To znači da, ako želimo da dokažemo da granična vrednost u nekoj tački ne postoji, dovoljno je naći dva pravca po kojima prilazimo posmatranoj tački, a da pri tom dobijamo različite vrednosti posmatranih limesa (konačne ili beskonačne).

Primer 1
Određivanje granične vrednosti funkcije dve promenljive.
Ispitati da li postoje sledeće granične vrednosti:
a) $\underset{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }{\lim }\dfrac{ 2 x ^ { 2 } - 3 y ^ { 2 } }{ x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } $ ;
b) $\underset{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }{\lim }\dfrac{ x y ^ { 2} }{ x ^ { 2 } + y ^ { 4 } } ; $
c) $\underset{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }{\lim }\dfrac{ x ^ { 6 } - y ^ { 6 } }{ x ^ { 3 } + y ^ { 3 } } ; $

$\textbf{ Rešenje. }$ a) Posmatrana granična vrednost ne postoji u tački $(0,0).$ Naime, ako se tačka $\left( x,y\right) $ približava tački $\left(0,0\right) $ po pravoj $x=0$ (tj. po $y-$osi), tada je $$ \underset{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }{\lim }\frac{ 2x^{2}-3y^{2}}{x^{2}+y^{2}}=\underset{{y } \rightarrow 0 }{\lim }\frac{-3y^{2}}{y^{2}}=-3, $$ a ako se približava po pravoj $y=0$ (tj. po $x-$osi), onda je $$ \underset{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }{\lim }\frac{ 2x^{2}-3y^{2}}{x^{2}+y^{2}}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{2x^2}{x^2}=2. $$ Dakle, posmatrana granična vrednost ne postoji u tački $(0,0)$.
b) Posmatrana granična vrednost ne postoji u tački $(0,0).$ Ako se tačka $\left( x,y\right) $ približava tački $\left(0,0\right) $ po pravoj $y=2x$, tada je $$ \underset{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }{\lim }\dfrac{xy^{2}}{x^{2}+y^{4}}=\underset{x\rightarrow 0}{\lim }\frac{4x^{3}}{ x^{2}+16x^{4}}=\underset{x\rightarrow 0}{\lim }\frac{4x}{1+16x^{2}}=0. $$ Međutim, ako se tačka $\left( x,y\right) $ približava tački $\left( 0,0\right) $ po paraboli $y=\sqrt{x}$, tada je $$\underset{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }{\lim }\frac{ xy^{2}}{x^{2}+y^{4}}=\underset{x\rightarrow 0}{\lim }\frac{x^{2}}{x^{2}+x^{2}}=\frac{1}{2}. $$ Dakle, posmatrana granična vrednost ne postoji u tački $(0,0)$.

c) Posmatrana granična vrednost postoji, jer je \begin{align}\underset{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }{\lim }\frac{ x^{6}-y^{6}}{x^{3}+y^{3}} & =\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\frac{(x^3-y^3)(x^3+y^3)}{x^3+y^3} = \\ & = \underset{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }{\lim }\left( x^{3}-y^{3}\right) =0. \end{align}
Primer 2
Određivanje granične vrednosti funkcije primenom polarnih koordinata. Ona je pogodna za primenu kada se pod limesom javljaju funkcije koje sadrže kvadratne forme $x^2+y^2.$

Napomena. U situacijama kada se pod limesom javljaju funkcije koje sadrže kvadratne forme $x^2+y^2,$ odnosno njihova uopštenja, takvi limesi se mogu rešavati uvođenjem polarnih koordinata $x=\rho\cos\theta$ i $y=\rho\sin\theta,$ ili njihovih uopštenja, gde je $\rho>0$ i $\theta\in(0,2\pi].$ Na ovaj način se dobija granična vrednost samo po promenljivoj $\rho$ kojom se prilazi tački u kojoj se ispituje granična vrednost, dok se veličinom $\theta$ "pokrivaju" svi pravci kojima se može prići toj tački.

Ispitati da li postoji granična vrednost $$ \underset{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }{\lim }\dfrac{e^{-(x^{2}+y^2)}-1}{x^{2}+y^{2}}. $$ $\textbf{ Rešenje. } $ Shodno prethodno rečenom, ovaj zadatak možemo rešiti na sledeći način $$ \underset{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }{\lim }\dfrac{e^{-(x^{2}+y^2)}-1}{x^{2}+y^{2}}=\underset{\rho\to0}{\lim }\dfrac{e^{-\rho}-1}{\rho}=-\underset{\rho\to0}{\lim }\dfrac{e^{-\rho}-1}{-\rho}=-1, $$ gde imamo da, zbog $x\to0$ i $y\to0,$ važi $\rho\to 0,$ gde je $\theta\in(0,2\pi].$

Hajneova definicija granične vrednosti
Hajneova definicija se koristi za utvrđivanje nepostojanja granične vrednosti funkcije u datoj tački.
Prethodno data definicija granična vrednosti funkcije dve promenljive je poznata kao okolinska ili Košijeva definicija. Pored nje može se uvesti i Hajneova definicija granične vrednosti preko nizova. Ta definicija je analogna onoj koju smo uveli prilikom definisanja granične vrednosti funkcije jedne promenljive.

$\bf Definicija. \,\,$ Važi da $\lim\limits_{(x,y) \to (x_0, y_0)} f(x,y) = b $ ako i samo ako za niz $(x_n, y_n) \to (x_0, y_0),$ kada $n\to \infty,$ važi da $f(x_n, y_n) \to b,$ kada $n\to \infty.$

Napomena. Hajneova i Košijeva definicija granične vrednosti su ekvivalentne.

$\bf Primer.\,\,$ Ispitati da li postoji granična vrednost $$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{xy}{\sqrt{x^4+y^4}}.$$ $\textbf{Rešenje. } $ Uočimo dva niza $(\frac1n,\frac1n)_{n\in\mathbb{N}}$ i $(-\frac1n,\frac1n)_{n\in\mathbb{N}}$. Za ova dva niza važi $(\frac1n,\frac1n)\to(0,0)$, kada $n\to+\infty$ i $(-\frac1n,\frac1n)\to(0,0)$, kada $n\to+\infty.$ Tada imamo da je $$ f\bigg(\frac1n,\frac1n\bigg)=\dfrac{\dfrac1n\cdot\dfrac1n}{\sqrt{\left(\dfrac1n\right)^4+\left(\dfrac1n\right)^4}}=\frac{\dfrac1{n^2}}{\dfrac{\sqrt{2}}{n^2}}\to\frac{1}{\sqrt{2}},\,\,n\to+\infty. $$

S druge strane, imamo da je $$ f\bigg(-\frac1n,\frac1n\bigg)=\dfrac{-\dfrac1n\cdot\dfrac1n}{\sqrt{\left(-\dfrac1n\right)^4+\left(\dfrac1n\right)^4}}=\frac{-\dfrac1{n^2}}{\dfrac{\sqrt{2}}{n^2}}\to-\dfrac{1}{\sqrt{2}},\,\,n\to+\infty. $$ Dakle, posmatrana granična vrednost ne postoji u tački $ ( 0 , 0 ) .$

Određivanje dve uzastopne granične vrednosti
Postojanje istovremene granične vrednosti neke funkcije dve promenljive u nekoj tački, ne mora povući postojanje uzastopnih graničnih vrednosti.
Oznaka $\lim\limits_{(x,y)\to(a,b)}f(x,y)$ se koristi prilikom traženje istovremene granične vrednosti funkcije $ z = f ( x , y )$ u tački $ ( a , b ) , $ tj. kada istovremeno $ x \to a $ i $ y\to b ,$ za $ a , b \in \mathbb{ R } \cup\{ \pm \infty \} . $ Istovremena granična vrednost se označava i sa $ \lim \limits_{ \substack{ x \to a \\ y \to a } } f ( x , y ) . $

S druge strane, $ \underset{ x \rightarrow a }{ \lim } \left( \underset{ y \rightarrow b }{ \lim }f\left( x , y \right) \right ) $ označava izračunavanje $\color{red} {\text{dva uzastopna limesa}},\,\,\,$ gde se prvo određuje $\underset{y\rightarrow b}{\lim }f\left( x , y \right),$ dok je promenljiva $ x $ fiksirana. Nakon toga se od dobijenog rezultata, računa limes kada $ x\to a . $ Analogno važi za $ \underset{y\rightarrow b}{\lim }\left( \underset{x\rightarrow a}{\lim } f\left( x,y\right) \right).$

Veza između ovih limesa je sledeća: ako postoji $ \lim \limits_{ ( x , y ) \to ( a , b ) } f ( x , y ) = l _ 1 \in \mathbb{ R } $ i ako za svako $ x $ postoji granična vrednost $\underset{y\rightarrow b}{\lim }f\left( x,y\right) , $ tada postoji uzastopna granična vrednost $ \underset{x \rightarrow a}{ \lim }\left( \underset{y \rightarrow b}{ \lim} f\left( x,y\right) \right ) = l _ 2 \in \mathbb{ R } , $ pri čemu je $ l _ 1 = l _ 2 . $ Obrnuto ne mora da važi, što ćemo pokazati u narednom zadatku. Analogno važi za $\underset{y\rightarrow b}{\lim }\left( \underset{x\rightarrow a}{\lim }f\left( x,y\right) \right).$

$\textbf{ Primer. } $ Ako je $ f \left( x , y \right) = \frac{ x - y }{ 3 x + 2 y } , $ ispitati da li postoje sledeće uzastopne granične vrednosti $\underset{x\rightarrow 0}{\lim }\left( \underset{y\rightarrow 0}{\lim } f \left( x,y\right) \right)$ i $\underset{y\rightarrow 0}{\lim }\left( \underset{x\rightarrow 0}{\lim }f\left( x,y\right) \right)?$ Da li postoji $\lim\limits_{ ( x , y ) \to ( 0 , 0 ) } f ( x , y ) ?$

$\bf Rešenje.\,\,$ Važi da je $$\underset{x\rightarrow 0}{\lim }\left( \underset{y\rightarrow 0}{\lim }\frac{x-y}{3x+2y}\right) =\underset{x\rightarrow 0}{\lim }\frac{x}{3x}=\frac13.$$ S druge strane, imamo da je $$\underset{y\rightarrow 0}{\lim }\left( \underset{x\rightarrow 0}{\lim }\frac{x-y}{3x+2y}\right) =\underset{y\rightarrow 0}{\lim }\frac{-y}{2y}=-\frac12. $$ Ako se tačka $\left( x,y\right) $ približava tački $ \left ( 0 , 0 \right ) $ po pravoj $ y = 2 x , $ tada je $$\underset{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0 , 0 \right) }{\lim }\frac{x-y}{3x+2y}=\underset{x\rightarrow 0}{\lim }\frac{-x}{7x}=-\frac{1}{7}, $$ a ako se tačka $\left( x,y\right) $ približava tački $\left(0,0\right) $ po pravoj $ y = x , $ tada je $$\underset{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }{ \lim }\frac{x-y}{3x+2y}=\underset{x\rightarrow 0}{\lim }\frac{0}{2x}=0.$$ Dakle, granična vrednost u tački $(0,0)$ ne postoji.