Prvi parcijalni izvodi
- Totalni priraštaj
- Parcijalni izvodi funkcije dve promenljive
- Primer
- Prvi parcijalni izvodi složene funkcije
- Video klip
04
Totalni priraštaj
Korišćenjem pojmova totalni priraštaj funkcije i parcijalni priraštaj funkcije po odgovarajućoj promenljivoj, mogu se uvesti pojmovi parcijalni izvod funkcije po odgovarajućoj promenljivoj.
Kao što smo rekli, pod pojmom funkcije dve promenljive definisane na $ \cal D $ (što će najčešće biti oznaka za domen) podrazumevamo jednoznačno dodeljivanje
\begin{equation}\tag{1}
(x,y)\mapsto f(x,y)\in\mathbb R,
\end{equation}
gde $ ( x , y ) \in \cal D$.
Formulom (1) zadat je pojam navedene funkcije čije vrednosti na $\cal D$ se generišu pravilom $ f $ i ona može biti data u eksplicitnom, implicitnom ili parametarskom obliku. Mi ćemo u većini razmatranja koristiti eksplicitan oblik zadavanja, a analogne teorije postoje i za druga dva oblika.
Grafik generisan formulom (1) predstavlja skup tačaka u $\mathbb{R}^3$ dat sa
\[
\Gamma_f=\Big\{\big(x,y,f(x,y)\big)\mid(x,y)\in D\Big\}\subseteq \mathbb R^3.
\]
U našem razmatranju isključivo ćemo se baviti funkcijama koje će za grafik imati neprekidnu, ili na malom delu prekidnu površ. Znači, ubuduće imamo posla sa funkcijama oblika
\[
z=f(x,y),\;\;\text{za }(x,y)\in \cal D\,.
\]
Da ponovimo, kod ovakvih funkcija veličine $x$ i $y$ su nezavisne promenljive, a veličina $z$ je zavisna realna promenljiva.
Neka je data oblast $\cal D \subseteq \mathbb{R}^2$ i neka je data tačka $ A = ( a _ 1 , a _ 2 ) \in \cal D $. Takođe, neka je na $ D $ data funkcija $ z = f ( x, y ) . $
$\bf Definicija.$ $\color{red} {\text{Totalni priraštaj funkcije}}\,\,$ $ f $ u tački $ A $ (sa priraštajima argumenata $ \Delta x $ i $ \Delta y $), u oznaci $\Delta f,$ je veličina
\begin{equation}\tag{2}
\Delta f=f(a_1+\Delta x,a_2+\Delta y )-f(a_1,a_2)\,,
\end{equation}
gde su $ \Delta x $ i $ \Delta y $ realne veličine različite od nule.
U slučaju kada u (2) važi da je:
$1^\circ$ $ \Delta y = 0 $ -- tada $\Delta f = f ( a _ 1 + \Delta x , a _ 2 ) - f ( a _ 1 , a _ 2 ) $ nazivamo parcijalnim priraštajem funkcije $ f $ u tački $ A $ po prvoj promenljivoj (po $ x $) i označavamo sa $ \Delta_x f $.
$2^\circ$ $ \Delta x=0 $ -- tada $\Delta f= f ( a _ 1 , a _ 2 + \Delta y ) - f ( a _ 1 , a _ 2 )$ nazivamo parcijalnim priraštajem funkcije $ f $ u tački $ A $ po drugoj promenljivoj (po $ y $) i označavamo sa $ \Delta_y f . $
Parcijalni izvodi funkcije dve promenljive
Parcijalni izvod neke funkcije može da postoji ili ne u $ ℝ $ u ${±∞}.$
Koristeći $1^\circ $ i $2^\circ $ kreirajmo sledeće granične vrednosti:
\begin{align}\tag{3.1}
&\lim_{ \Delta x \to 0} \frac{ \Delta_x f }{ \Delta x }\,,\\[2mm] \tag{3.2}
&\lim_{ \Delta y \to 0} \frac{ \Delta_y f }{\Delta y}\,.
\end{align}
Granične vrednosti (3.1) i (3.2) mogu postojati ili ne u $ \mathbb R\cup\{\pm\infty\} $. Ako su konačne, nazovamo ih $\color{red} {\text{parcijalni izvodi prvog reda}}\,\,$ funkcije $ f $ u tački $ A\in \cal D $ po prvoj, odnosno po drugoj promenljivoj, respektivno. U tom slučaju koristimo jednu od sledećih oznaka
\[
\begin{gathered}
f'_x ( x , y ) \big\rvert_A,\quad\frac{ \partial f }{ \partial x },\quad\text{ ili }\quad f ' _ x ( A ) , \\[2mm]
f'_y ( x , y ) \big\rvert_A,\quad\frac{ \partial f }{ \partial y } ,\quad\text{ ili }\quad f ' _ y ( A ) .
\end{gathered}
\]
Za ova dva parcijalna izvoda prvog reda možemo kreirati funkcije tih parcijalnih izvoda
\begin{equation}\label{eq:34}
\begin{split}
& f ' _ x ( x, y ) ,\quad\text{ za } (x,y)\in \cal D\,,\\
& f ' _ y ( x , y ) , \quad\text{ za } (x,y)\in \cal D\,.
\end{split}
\end{equation}
Prethodno date funkcije su opet funkcije po promenljivim $ x $ i $ y .$
$\bf Napomena.$ Praktično nalaženje funkcija koje su parcijalni izvodi početne funkcije se može uraditi na sledeći način:
- polaznu funkciju $ f ( x , y ) $ diferenciramo samo po $ x $ ($ y $ smatramo konstantom) i time dobijemo $ f' _ x ( x , y ) , $ za $ ( x , y ) \in \cal D,$
- polaznu funkciju $ f ( x , y ) $ diferenciramo samo po $ y $ ($ x $ smatramo konstantom) i time dobijemo $ f'_ y ( x , y ) ,$ za $ ( x , y ) \in \cal D.$
Primer
Određivanje prvih parcijalnih izvoda.
Naći odgovarajuće parcijalne izvode funkcija:
$$
a)\,z=\arctg \frac{ x }{ y },\qquad b)\,z=\sqrt{x^2+y^2}\text{ u tački } A(1,1).
$$
$\bf Rešenje . $
a)
$$
\frac{ \partial z }{ \partial x}=\frac{1}{1+\left(\frac{x}{y}\right)^2}\cdot\left(\frac{x}{y}\right)'_x=\frac{1}{1+\frac{x^2}{y^2}}\cdot\frac{1}{y}=\frac{y^{2}}{x^2+y^2}\cdot\frac{1}{y}=\frac{y}{x^2+y^2},
$$
$$
\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{1}{1+\left(\frac{x}{y}\right)^2}\cdot\left(\frac{x}{y}\right)'_y=\frac{1}{1+\frac{x^2}{y^2}}\cdot\frac{-x}{y^2}=\frac{y^2}{x^2+y^2}\cdot\frac{-x}{y^2}=-\frac{x}{x^2+y^2}.
$$
b)
$$
\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{2x}{2\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},\quad \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{2y}{2\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}.
$$
Tada je: $ z ' _ x ( 1 , 1 ) = \dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{ \sqrt{ 2 } }{ 2 }$ i $ z ' _ y ( 1 , 1 ) = \dfrac{ 1 }{ \sqrt{ 2 } } = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
Prvi parcijalni izvodi složene funkcije
Pravilo za određivanje prvih parcijalnih izvoda u situaciji kada funkcija složena. Analogno pravilo smo dali i prilikom određivanje prvog izvoda funkcije jedne promenljive.
Funkcije više promenljivih mogu biti složene, pa tako ako je $ z = f ( u, v ) $ funkcija od $ u $ i $ v , $ pri čemu su $ u = u ( x , y ) $ i $ v = v ( x , y ) $ funkcije od
$ x $ i $ y ,$ onda je $ z $ složena funkcija od $ x $ i $ y $
$$
z = f ( u ( x , y ) , v ( x , y ) ) = g ( x , y )
$$
a njeni parcijalni izvodi po $ x $ i $ y $ se dobijaju kao
\begin{align}
\frac{ ∂ z }{ ∂ x } & = \frac{ ∂ z }{ ∂ u } \cdot \frac{ ∂ u }{ ∂ x } + \frac{ ∂ z }{ ∂ v } \cdot \frac{ ∂ v }{ ∂ x } , \\
\frac{ ∂ z }{ ∂ y } & = \frac{ ∂ z }{ ∂ u } \cdot \frac{ ∂ u }{ ∂ y } + \frac{ ∂ z }{ ∂ v } \cdot \frac{ ∂ v }{ ∂ y }.
\end{align}
Video klip
Snimak sa Youtube-a
