Lokalni ekstremi funkcije dve promenljive

Usvajanje metode za odredjivanje lokalnih ekstremuma funkcije dve promenljive

Stacionarne tačke
Silvesterovo pravilo
Primer
Video klip

Stacionarne tačke

Stacionarne tačke funkcije dve promenljive se određuju iz sistema čije jednačine predstavljaju prvi parcijalni izvodi te funkcije izjednačeni sa nulom.

Neka je data funkcija $ z = f ( x , y ) $ na oblasti $ \cal D \subseteq \mathbb{R}^2 .$ Tada za tačku $ M_1 = ( x _ 1 , y _ 1 ) \in \cal D $ kažemo da je $\color{red} {\text{lokalni minimum}},\,\,\,$ ako postoji barem jedna njena $\varepsilon$-okolina, u oznaci $\cal{O}_1$, gde je $\cal{O}_1\subseteq D,$ takva da je $ f ( x _ 1 , y_ 1 ) \leq f ( x , y ) , $ za svako $ ( x , y ) \in \cal{O}_1 $. Takođe, za tačku $ M _ 2 = ( x _ 2 , y _ 2 ) \in \cal D $ kažemo da je $\color{red} {\text{lokalni maksimum}},\,\,\,$ ako postoji barem jedna njena $\varepsilon$-okolina, u oznaci $\cal{O}_2$, gde je $\cal{O}_2\subseteq \cal D , $ takva da je $ f ( x _ 2, y _ 2 ) \geq f ( x , y ) , $ za svako $ ( x , y ) \in\cal{O}_2$. Tačke lokalnih minimuma i maksimuma se nazivaju i lokalni ekstremi funkcije $ f $ na $ \cal D $.

U narednom razmatranju ćemo dati jedan postupak za određivanje tačaka lokalnih ekstrema posmatrane funkcije (ako ih ona uopšte ima).

Neka je funkcija $z = f ( x , y ) $ definisana na oblasti $ D\subseteq \mathbb{R}^2 $. Za tačku $ M_0 = ( x _ 0 , y _ 0 ) \in D $ kažemo da je $\color{red} {\text{stacionarna tačka}}\,\,\,$ funkcije $ f $ ako je rešenje sistema: \begin{equation}\label{eq:39} \begin{split} & f ' _ x ( x , y ) = 0 \,,\\ & f ' _ y ( x , y ) = 0 \,, \end{split} \end{equation} na $ \cal D .$

Skup rešenja prethodnog sistema označimo sa $ S.$ On može biti prazan ili neprazan.

$\bf Stav.$ Neka je funkcija $ z = f ( x , y )$ definisana na oblasti $ D\subseteq \mathbb{R}^2 $ i neka je $ S $ skup stacionarnih tačaka za tu funkciju na $ \cal D $. Tada svaka tačka lokalnog ekstrema funkcije na oblasti $ D $ pripada skupu $ S $.

Napomena. Iz prethodnog stava možemo zaključiti da ako je $ S=\varnothing ,$ tada funkcija $ f $ na $ \cal D $ nema lokalne ekstreme. Međutim, on ne važi u suprotnom smeru. To znači da sve tačke koje pripadaju skupu $S$ ne moraju biti lokalni ekstremi. Stoga se nameće pitanje, ako je skup $S$ neprazan, kako ćemo od svih tačaka koje mu pripadaju, izdvojiti one koje su lokalni ekstremi i kako ćemo znati da li su one lokalni maksimumi ili minimumi. O tome govorimo u nastavku.

Silvesterovo pravilo

Primena ovog pravila omogućava jednostavno određivanje lokalnih ekstremnih vrednosti funkcije dve promenljive. U slučaju da je $\gamma = 0,$ ovo pravilo ne daje odgovor.

Naredno tvrđenje će nam omogućiti da iz skupa $S$ izdvajamo one tačke koje predstavljaju lokalni maksimum ili minimum određene funkcije dve promenljive, uz pretpostavku da je skup $S$ neprazan.

$\textbf{Stav ($\color{red} {\text{Silvesterovo pravilo}}$). } $ Neka je funkcija $ z = f ( x , y ) $ definisan na $ \cal D \subseteq \mathbb{R}^2 $ i neka je $ S $ skup njenih stacionarnih tačaka na $ \cal D $ takav da je $ S \ne\varnothing$. Dalje, neka je $ M_0 ( x _ 0 , y _0 ) \in S . $ Takođe, neka je $$ f''_{ x ^ 2 } ( M_0 ) = A ,\;\;\ f ' ' _ { x y }( M_0 ) = f''_{yx} (M_0 ) = B , \; \; f ' '_{ y ^ 2 } ( M_0 ) = C . $$ Označimo sa $ \gamma = A \cdot C - B ^ 2 . $ Tada

a) ako je $ \gamma > 0 $ i $ A > 0 ,$ tačka $ M _ 0 $ je lokalni minimum funkcije $ f $ na $ D ;$

b) ako je $ \gamma > 0 $ i $ A < 0 ,$ tačka $ M _ 0 $ je lokalni maksimum funkcije $ f $ na $ D ; $

c) ako je $ \gamma < 0 , $ funkcija $ f $ u tački $ M _ 0 $ nema lokalnih ekstrema;

d) ako je $ \gamma = 0 , $ za tačku $ M _ 0 $ nemamo nikakav odgovor po pitanju lokalnih ekstrema.

$ \textbf{Napomena. } $ 1) Silvesterovo pravilo je veoma značajan rezultat. Postoji opšta verzija ovog pravila za realne funkcije od $ k $ realnih promenljivih $( k\ge 2 )$, iskazana preko pojma pozitivno definitne forme o kome ovde neće biti reči.

2) Nedostatak ovog pravila je da u slučaju pod d) ne možemo dobiti odgovor o postojanju lokalnog ekstrema funkcije $f$ u posmatranoj tački $ M_0 $. Ovaj nedostatak možemo prevazići analizom znaka drugog diferencijala funkcije $ f $ u okolini te tačke $ M_0 $ o kome ćemo govoriti u nastavku.

Primer

Primena Silvesterovog kriterijuma za određivanje lokalnih ekstremnih vrednosti funkcije.

Odrediti lokalne ekstreme funkcije $$ f ( x , y ) = x ^ 3 - 2 y ^ 3 - 3 x + 6 y . $$ $\textbf{Rešenje. } $ Iz sistema \begin{equation*} \begin{split} & f'_x(x,y)=3x^2-3=0,\\ & f'_y(x,y)=6y^2-6=0, \end{split} \end{equation*} imamo da je $x^2=1$ i $y^2=1,$ pa dobijamo četiri stacionarne tačke: $M_1(1,1),$ $M_2(-1,1),$ $M_3(1,-1),$ i $M_4(-1,-1).$ Odredimo, sada, druge parcijalne izvode, kako bismo proverili da li ove tačke jesu lokalni ekstremi $$ f''_{x^2}=6x,\quad f''_{xy}=0,\quad f''_{y^2}=-12y. $$

Provera za tačku $ M _ 1 . $
Imamo da je $A = f ' ' _ { x ^ 2 } ( M _ 1 ) = 6 ,$ $B = f ' ' _ { x y } ( M _ 1 ) = 0 $ i $C = f ' ' _ { y ^ 2 } ( M _ 1 ) = - 1 2 . $ Na osnovu Silvesterovog kriterijuma imamo da je $ \gamma = A C - B ^ 2 = - 7 2 < 0 ,$ pa tačka $ M _ 1 $ nije lokalni ekstrem funkcije $ f ( x , y ) . $

Provera za tačku $ M _ 2 . $
Imamo da je $A=f''_{x^2} ( M _ 2 ) = -6,$ $B=f''_{xy} ( M _ 2 ) =0$ i $ C = f ' ' _ { y ^ 2 } ( M _ 2 ) = - 1 2 . $ Na osnovu Silvesterovog kriterijuma imamo da je $ \gamma = A C - B ^ 2 = 7 2 > 0 ,$ pa tačka $M_2$ je lokalni maksimum jer je $A<0$. Tada je $f_{max}(-1,1)=6.$

Provera za tačku $ M _ 3 . $
Imamo da je $A=f''_{x^2}(M _ 3)=6,$ $B=f''_{xy} (M _ 3) =0$ i $C=f''_{y^2} (M _ 3) =12.$ Na osnovu Silvesterovog kriterijuma imamo da je $ \gamma=AC-B^2=72>0,$ pa tačka $M_3$ je lokalni minimum jer je $A>0$. Tada je $f_{min}(1,-1)=-6.$

Provera za tačku $ M _ 4 . $
Imamo da je $A=f''_{x^2}(M _ 4) =-6,$ $B=f''_{xy}(M _ 4) = 0 $ i $C= f ' ' _ { y ^ 2 } (M _ 4) = 1 2 .$ Na osnovu Silvesterovog kriterijuma imamo da je $ \gamma = A C - B ^ 2 = - 7 2 < 0 ,$ pa tačka $M_4$ nije lokalni ekstrem funkcije $f(x,y).$

Video klip

Snimak sa Youtube-a