Totalni diferencijal višeg reda
- Totalni diferencijal drugog reda
- Primer
08
Totalni diferencijal drugog reda
Totalni diferencijal drugog reda se koristi za odrešivanje lokalnih ekstrema.
Posmatrajmo ponovo formulu
$$
d f = f ′ _ x (a _ 1 , a _ 2 ) \cdot d x + f ′ _ y ( a _1, a _2 ) \cdot dy .
$$
Možemo smatrati da je $ df $ funkcija dve nezavisne promenljive sa domenom u $\cal { D }$ i ponovo potražiti totalni diferencijal u tački $ A . $ Na taj način dobijemo $\color{red} {\text{totalni diferencijal drugog reda}}\,\,\,$ funkcije $ f $ u tački $ A , $ koji označavamo sa $ d ^ 2 f . $ Tada je
\begin{align*}
d ^ 2 f & = ( d f ) ' _ x d x+ ( d f )' _ y d y = \\
& = ( f ' ' _ { x x } d x + f ' ' _ { y x } d y ) d x + ( f ' ' _ { x y } d x + f ' ' _ { y y } d y) d y=\\
& = f ' ' _ { x x } ( d x)^2 + 2 f ' ' _ { x y } ( d x ) ( d y ) + f ' '_{ y y } ( d y ) ^ 2 .
\end{align*}
Obično se $ ( d x ) ^ 2$ označava sa $ d x ^ 2 $ i $( d y ) ^ 2$ sa $ d y ^ 2 ,$ pa prethodno možemo zapisati
$$
d ^ 2 f = f ' ' _ { x x } d x ^ 2 + 2 f ' ' _ { x y } d x d y + f ' ' _ { y y } d y^2.
$$
Kao što smo već rekli drugi totalni diferencijal funkcije igra važnu ulogu prilikom određivanja da li je neka stacionarna tačka $ M _ 0 ( x _ 0 , y _ 0 ) \in S $ lokalni ekstrem, kada u Silvesterovom pravilu za tu tačku dobijemo da je $\gamma = 0 . $ Naime, ako je totalni diferencijal drugog reda funkcije $f$ u tački $ M _ 0 ,$ odnosno
$$
d ^ 2 f ( M_0) = f ' ' _ { x x } ( M_0) \, d x ^ 2 + 2 f ' ' _ { x y } ( M _ 0 )\, d x d y + f ' ' _ { y y } (M _ 0 ) \, d y ^ 2 .
$$
stalnog znaka, nezavisno od $ d x $ i $ d y $ imamo da:
1) za $d^2 f ( M_0) > 0$ funkcija u tački $M_0$ ima lokalni minimum,
2) za $d^2 f ( M_0) < 0$ funkcija u tački $M_0$ ima lokalni maksimum,
3) za $d^2 f ( M_0) = 0$ ne može se ništa zaključiti o lokalnim ekstremima u tački $M_0$ i analiziranje se mora proširiti na diferencijale višeg reda, o čemu ovde neće biti reči.
Ako je $d^2 f ( M_0) $ menja znak, zavisno od promene $d x$ i $d y$, tada početna funkcija nema lokalni ekstrem u tački $M_0.$ Uočimo da u prethodnoj formuli veličine $f''_{xx} ( M_0) ,$ $f''_{xy} ( M_0) $ i $f ' ' _{ y y } ( M_0) $ predstavljaju tim redom veličine $A,$ $B$ i $C$ iz Silvesterovog kriterijuma.
Primer
Određivanje lokalnih ekstrema funkcije analizom znaka drugog diferencijala funkcije u tački.
Odrediti lokalne ekstreme funkcije
$$ f ( x , y ) = x ^ 3 - 2 y ^ 3 - 3 x + 6 y . $$
$\textbf{Rešenje. } $ Iz sistema
\begin{equation*}
\begin{split}
& f'_x(x,y)=3x^2-3=0,\\
& f'_y(x,y)=6y^2-6=0,
\end{split}
\end{equation*}
imamo da je $x^2=1$ i $y^2=1,$ pa dobijamo četiri stacionarne tačke: $M_1(1,1),$ $M_2(-1,1),$ $M_3(1,-1),$ i $M_4(-1,-1).$
Odredimo, sada, druge parcijalne izvode, kako bismo proverili da li ove tačke jesu lokalni ekstremi
$$
f''_{x^2}=6x,\quad f''_{xy}=0,\quad f''_{y^2}=-12y.
$$
Provera za tačku $ M _ 1 . $
Imamo da je $f ' ' _ { x ^ 2 } ( M _ 1 ) = 6 ,$ $f ' ' _ { x y } ( M _ 1 ) = 0 $ i $f ' ' _ { y ^ 2 } ( M _ 1 ) = - 1 2 . $ Tada je
$$
d ^ 2 f ( M _ 1 ) = 6 d x ^ 2 - 1 2 d y ^ 2 .
$$
Ako je $ d y = d x $ tada je $d^2 f ( M _ 1 ) = - 6 d x ^ 2 < 0 , $ dok za $ d y=\dfrac{1}{2}d x $ imamo $d^2 f ( M _ 1 )=3 d x^2>0.$ Kako je $d^2 f ( M _ 1 ) $ promenljivog znaka nema lokalnih ekstremnih vrednosti.
Provera za tačku $ M _ 2 . $
Imamo da je $f''_{x^2} ( M _ 2 ) = -6,$ $f''_{xy} ( M _ 2 ) =0$ i $f ' ' _ { y ^ 2 } ( M _ 2 ) = - 1 2 , $ pa je
$$
d^2 f( M _ 2 )=-6d x^2-12d y^2=-(6d x^2+12d y^2)<0,
$$
za $d x^2+d y^2\neq 0,$ pa imamo lokalni maksimum. Tada je $f_{max}(-1,1)=6.$
Provera za tačku $ M _ 3 . $
Imamo da je $f''_{x^2}(M _ 3)=6,$ $f''_{xy} (M _ 3) =0$ i $f''_{y^2} (M _ 3) =12,$ pa je
$$
d^2 f (M _ 3) =6d x^2+12d y^2>0,
$$
za $d x^2+d y^2\neq 0,$ pa imamo lokalni minimum. Tada je $f_{min}(1,-1)=-6.$
Provera za tačku $ M _ 4 . $
Imamo da je $f''_{x^2}(M _ 4) =-6,$ $f''_{xy}(M _ 4) = 0 $ i $f ' ' _ { y ^ 2 } (M _ 4) = 1 2 ,$ pa je
$$
d^2(M _ 4)=-6d x^2+12d y^2.
$$
Ako je $d y=d x$ tada je $d^2 f(M _ 4)=6d x^2>0,$ dok za $d y=\dfrac{1}{2}d x$ imamo $d^2 f(M _ 4)=-3d x^2<0.$ Kako je $d^2 f(M _ 4)$ promenljivog znaka nema lokalnih ekstremnih vrednosti.
