Definicija matrice

Pojam matrice
Linearna (ne)zavisnost vrsta u matrici. Primer
Definicija matrice
Matrica kolona, matrica vrsta, nula matrica
Kvadratna matrica
Dijagonalna i jedinična matrica
Gornje i donje trougaona matrica

Pojam matrice

Uređena $m$-torka uređenih $n$-torki elemanata nekog skupa nas dovodi do pojma matrice tipa $ m\times n $ .

Već smo se susreli sa pojmom uređenog para, uređene trojke i u opštem slučaju uređene $n$-torke elemenata nekog skupa.

$\textbf{Primer.} \, \, \,$ Posmatrajmo tri uređene četvorke brojeva $$ v_1 = ( 1 , 2 , 3 , 4 ) \quad v_2 = ( - 1 , 5 , 6 , - 6 ) \quad \text{ i } \quad v_3 = ( 3 , 4 , 2 - 1 ) , $$ tada možemo dati jednu uređenu trojku ovih uređenih četvorki brojeva, u oznaci $A$, na sledeći način $$ A = [ v_1 , v_2 , v_3 ]= [ ( 1 , 2 , 3 , 4 ) \, ( - 1 , 5 , 6 , - 6 ) \, ( 3 , 4 , 2 - 1 ) ]. $$ Međutim, prethodni zapis se u praksi ne koristi jer je nepodesan i koristi se sledeći, mnogo pogodniji, način \begin{aligned} A = \left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 3 & 4 \\ -1 & 5 & 6 & -6 \\ 3 & 4 & 2 & -1 \\ \end{array}\right ]. \end{aligned} Prethodno uvedeni matematički objekat koji smo označili sa $ A $ nazivamo $ \color{red} {\text{ matrica}}. $

U ovakvom zapisivanju se kod uređenih četvorki $ v_1 , v_2 $ i $ v_3 $ izostavljaju male zagrade koje se koriste za označavanje, u opštem slučaju, uređenih $ n $-torki, već se one smeštaju po odgovarajućim redovima i to onim redom kako su navedene (jer se radi o uređenoj trojci datih uređenih četvorki $ v_1 , v_2 $ i $ v_3 $). Ovi redovi se nazivaju $ \color{red} {\text{vrste}}.$ Prvu vrstu čine koordinate uređene četvorke $v_1 , $ drugu uređene četvorke $ v_2 $ i treću uređene četvorke $ v_3 . $ Svakako, drugačiji redosled navođenja ovih uređenih četvorki bi dao drugačiju uređenu trojku uređenih četvorki $ v_1 , v_2 $ i $ v_3 $ tj. drugačiju matricu.

U lekcijama koje slede susretaćemo se sa skupovima koji predstavljaju uređene $ m $-torke uređenih $ n $-torki $ ( m , n \in \mathbb{N} ) .$ Zato, u nastavku dajemo strožiju i opštiju definiciju matrice, kao i razne operacije koje se mogu raditi sa njima. Pre svega ovoga govorićemo, najpre, o linearnoj zavisnosti, odnosno nezavisnosti vrsta u matrici.

Linearna (ne)zavisnost vrsta u matrici. Primer

Uvodimo pojam linearne zavisnosti i nezavisnosti među uređenim $n$-torkama.

Uvešćemo, najpre, pojam linearno zavisne vrste u matrici.

$ \textbf{Definicija.} $ Vrste $ v_1, v_2 , \ldots,v_m (m=2,3,4,\ldots)$ neke matrice su $\color{red} { \text{linearno zavisne } }$ ako i samo ako postoje realni brojevi $ \alpha_1 , \alpha_2 , \ldots , \alpha_m $ od kojih je bar jedan različit od nule, takvi da važi $$ \alpha_1\cdot v_1+ \alpha_2\cdot v_2+\ldots+\alpha_m\cdot v_m=O, $$ gde je $O$ vrsta kod koje su sve koordinate jednake nuli.

$\textbf{Napomena. }$ Pretpostavka je da svaka od vrsta $ v_1,$ $v_2 ,$ $\ldots,$ $v_m$ $(m=2,3,4,\ldots),$ kao i vrsta $O$ predstavljaju uređene $n$-torke, $n\in\mathbb N.$

Svaki zbir oblika $\alpha_1\cdot v_1+ \alpha_2\cdot v_2+\ldots+\alpha_m\cdot v_m,$ gde su $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_m$ proizvoljni realni projevi, nazivamo $ \color{red} {\text{linearna kombinacija} }\,\,$ vrsta $v_1,v_2,\ldots,v_m$.

Prema prethodnom, ako su vrste neke matrice linearno zavisne i $\alpha_j\neq 0,$ za $1\leq j\leq m,$ tada se vrsta $v_j$ može predstaviti kao linearna kombinacija ostalih vrsta na sledeći način $$v_j=-\frac{\alpha_1}{\alpha_j}\cdot v_1-\frac{\alpha_2}{\alpha_j}\cdot v_2-\ldots-\frac{\alpha_{j-1}}{\alpha_j}\cdot v_{j-1}-\frac{\alpha_{j+1}}{\alpha_j}\cdot v_{j+1}-\ldots-\frac{\alpha_m}{\alpha_j}\cdot v_m$$

$ \textbf{Definicija.} $ Vrste $ v_1, v_2 , \ldots,v_m (m=2,3,4,\ldots)$ su $\color{red} { \text{linearno nezavisne } }$ ako je ispunjeno $$ \alpha_1 \cdot v_1 + \alpha_2 \cdot v_2 + \ldots + \alpha_m \cdot v_m = O $$ ako i samo ako je $\alpha_1 = \alpha_2 = \ldots = \alpha_m = 0.$

Prethodno rečeno ilustrujemo sledećim primerom.

$\textbf{Primer.}$ Za matricu $$ A=\left [ \begin{array}{rrrr} 2 & 1 & 0 & -3 \\ -3 & -1 & 2 & 4 \\ 10 & 4 & -4 & -14 \end{array}\right ] $$ njene vrste su uređene četvorke $$ v_1 = (2 , 1 , 0 , -3 ), \quad v_2 = ( -3 , -1 , 2 , 4) , \quad v_3 = (10 , 4 , -4 , - 14). $$ Može se uočiti da važi $$ 2 v_1 - 2 v_2 - v_3 = O , $$ gde je $O = (0 , 0 , 0 , 0 ) . $ Ova jednakost pokazuje da su vrste matrice $A$ linearno zavisne i da se svaka od njih može predstaviti kao linearna kombinacija preostale dve vrste. Tako se treća vrsta može predstaviti: $$ v_3 = 2 v_1 - 2 v_2 . $$

Definicija matrice

Matrica predstavlja pravougaonu ili kvadratnu shemu nekih matematičkih objekata (brojeva, funkcija, nizova i dr.).

$ \textbf{Definicija.} $ Ako je sa $ X $ označen skup bilo kakvih matematičkih objekata (realnih brojeva, kompleksnih brojeva, funkcija, vektora, itd.), tada se svako preslikavanje skupa $ \{ 1 , 2 , 3 ,…, m \} × \{ 1 , 2 , 3 , … , n \} ,$ $ n , m ∈ N $ u skup $ X $ naziva matrica tipa $ m × n $ nad skupom $ X . $ Ovakvo preslikavanje se predstavlja u obliku pravougaone tabele (šeme) \begin{equation}\label{mat1} \left [ \begin{array}{cccccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1j} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2j} & \ldots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \ldots & a_{ij} & \ldots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots& \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mj} & \ldots & a_{mn} \end{array}\right ]. \end{equation} U ovoj i narednim lekcijama elementi $a_{ij}$ $(i = 1, 2, 3…, m; j = 1, 2, 3,…n)$ biće realni brojevi.

Ona se sastoji od elemenata $a_{ij}$ $(i = 1, 2, 3…, m; j = 1, 2, 3,…n)$ koji imaju dva indeksa. Prvi indeks prati horizontalnu poziciju elementa u matrici, a drugi indeks prati vertikalnu poziciju elementa u matrici. Horizontalni red u matrici se naziva $\color{red} {\text{vrsta}},\,\,$ a vertikalni $\color{red} {\text{kolona}}.\,\,$ Prethodno data matrica ima $m$ vrsta i $n$ kolona. Dakle, za element matrice $a_{ij}$ $(i = 1, 2, 3…, m,\, m\in\mathbb{N}; j = 1, 2, 3,…n,\,n\in\mathbb{N})$ prvi indeks $i$ označava vrstu, dok drugi indeks $j$ označava kolonu u kojoj se on nalazi. Za $i∈\{1, 2,3…,m\}, m\in\mathbb{N}$ niz elemenata $a_{i1},a_{i2},…,a_{in}$ nazivamo $i$-ta vrsta matrice. Slično, za $ j ∈ \{1,2,3…,n \},n \in \mathbb{N}$ niz elemenata $a_{1j},a_{2j},…,a_{mj}$ nazivamo $j$-tom kolonom matrice.

Kako bi se pojednostavilo zapisivanje matrica, prethodno data matrica se kraće označava sa $[a_{ij}]_{m×n}.$ Skup svih matrica tipa $m×n$ označavaćemo sa $M_{m×n}.$ Kada nije potrebno istaći tip matrice one se mogu označavati i velikim slovima $A, B, C,...$

Matrica kolona, matrica vrsta, nula matrica

Matrica kolona ima samo jednu kolonu i proizvoljan broj vrsta, dok matrica vrsta ima samo jednu vrstu i proizvoljan broj kolona. Nula matrica ima sve elemente jednake nuli.

Matrica tipa $m\times 1,$ tj. matrica oblika $$ \left [ \begin{array}{c} a_{11}\\ a_{21}\\ \vdots\\ a_{i1} \\ \vdots \\ a_{m1} \end{array}\right ] $$ se naziva $\color{red} {\text{matrica - kolona}},\,\,$ dok se matrica tipa $1\times n,$ tj. $$ \left[ \begin{array}{cccccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1j} & \ldots & a_{1n} \end{array}\right] $$ naziva $\color{red} {\text{matrica - vrsta}}.$

Matrica tipa $m\times n$ u kojoj su svi elementi jednaki nuli se naziva $\color{red} {\text{nula matrica}}.\,\,$ Označavamo je sa $O.$

Kvadratna matrica

Kvadratna matrica ima isti broj vrsta i kolona. Svakoj realnoj kvadratnoj matrici se može odrediti njena determinanta, koja predstavlja njenu numeričku karateristiku.

Od posebnog interesa su matricu tipa $n\times n$ koje nazivamo $\color{red} {\text{kvadratna matrica}}$ \begin{equation}\label{mat2} A=\left [ \begin{array}{cccccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1i} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2i} & \ldots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \ldots & a_{ii} & \ldots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots& \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{ni} & \ldots & a_{nn} \end{array}\right ]. \end{equation} U matrici $A$ elementi $a_{11}, a_{22},\ldots,a_{ii},\ldots,a_{nn}$ čine njenu $\color{red} {\text{glavnu dijagonalu}},\,\,$ dok elementi $a_{n1},a_{(n-1)2},\ldots,a_{1n}$ čine njenu $\color{red} {\text{sporednu dijagonalu}}.\,\,\,$

Za nekvadratne matrice nema smisla definisati pojmove glavne i sporedne dijagonale.

Svakoj realnoj kvadratnoj matrici $A$ pridružuje se realan broj, u oznaci $\det (A)$ tj. \begin{equation}\label{mat3} \det (A)=\left | \begin{array}{cccccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1j} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2j} & \ldots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \ldots & a_{ij} & \ldots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots& \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nj} & \ldots & a_{nn} \end{array}\right |, \end{equation} koji se naziva $\color{red} {\text{determinanta}}.\,\,\,$ Ako je determinanta kvadratne matrice $A$ različita od nule (tj. $\det A\neq 0$), tada se ona naziva $\color{red} {\text{regularna matrica}}.\,\,\,$ U suprotnom, matrica je $\color{red} {\text{singularna}}.\,\,\,$ Skup svih kvadratnih matrica tipa $n×n$ označava se sa $M_n$.

$ \textbf{Napomena. }$ Shodno, ranije uvedenoj linearnoj zavisnosti, odnosno nezavisnosti vrsta u matrici, a poznajući i osobine determinanti, možemo reći da ako je neka kvadratna matrica regularna, tada su njene vrste linearno nezavisne, a ako je singularna tada su njene vrste linearno zavisne. O linearnoj nezavisnosti pravougaonih matrica, kao i o tome kako se određuje broj linearno nezavisnih vrsta u nekoj matrici (bilo da je kvadratna ili ne) govorićemo kasnije.

Dijagonalna i jedinična matrica

Dijagonalna matrica je kvadratna matrica koja na glavnoj dijagonali ima brojeve različite od nule, dok su svi ostali elementi nule. Jedinična matrica je njen specijalan slučaj.

Kvadratna matrica u kojoj su svi elementi van glavne dijagonale jednaki nuli, naziva se $\color{red} {\text{dijagonalna matrica}.\,\,\,}$Ona se može predstaviti u obliku $$ \left [ \begin{array}{cccccc} a_{11} & 0 & \ldots & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & a_{22} & \ldots & 0 & \ldots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & a_{ii} & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots& \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & 0 & \ldots & a_{nn} \end{array}\right ]. $$ Dijagonalna matrica čiji su svi elementi na glavnoj dijagonali jednaki $1,$ naziva se $\color{red} {\text{jedinična matrica}\,\,}$ i označava sa $I$ (ili sa $E$). Ona se može predstaviti u obliku $$ I=\left [ \begin{array}{cccccc} 1 & 0 & \ldots & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 1 & \ldots & 0 & \ldots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & 1 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots& \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & 0 & \ldots & 1 \end{array}\right ]. $$

Gornje i donje trougaona matrica

Gornje, odnosno donje trougaona matrica je kvadratna matrica koja ispod, odnosno iznad glavne dijagonale ima elemente koji su jednaki nuli.

Kvadratna matrica $A∈M_n$ se naziva $\color{red} {\text{gornje trougaona matrica}\,\,\,}$ ako je $ a_{ij} = 0 $ za svako $ i > j $ $ ( i , j = 1, 2, 3, …, n ) $ tj. ispod glavne dijagonale svi elementi su jednaki $0$ \begin{equation}\left [ \begin{array}{cccccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1i} & \ldots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & \ldots & a_{2i} & \ldots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & a_{ii} & \ldots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots& \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & 0 & \ldots & a_{nn} \end{array}\right ]. \end{equation} Neka kvadratna matrica $A∈M_n$ se naziva $\color{red} {\text{donje trougaona matrica}\,\,\,}$ ako je $a _ { i j }=0$ za svako, $i < j ( i, j = 1, 2, 3, …, n ),$ tj. iznad glavne dijagonale svi elementi su jednaki $0$ \begin{equation}\left [ \begin{array}{cccccc} a_{11} &0 & \ldots &0 & \ldots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & \ldots &0 & \ldots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \ldots & a_{ii} & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots& \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{ni} & \ldots & a_{nn} \end{array}\right ]. \end{equation} Lako je uočiti da su determinante ovih matrica jednake proizvodu elemenata glavne dijagonale.