03 - Množenje matrice skalarom
Množenje matrice skalarom
  • Definicija množenja matrice skalarom. Primer
03
Definicija množenja matrice skalarom. Primer
Skalar množi neku matricu tako što množi svaki element te matrice. Ovakav način množenja matrice skalarom predstavlja prirodno uopštenje množenja uređene $n$-torke skalarom.

$ \textbf{ Definicija.} \,\,\,$ Za proizvoljan realan broj, odnosno skalar $\alpha$ i proizvoljnu matricu $A=\left[a_{ij} \right]_{m\times n},$ definišemo operaciju $\color{red} {\text{množenje matrice $A$ skalarom $\alpha$}}$ na sledeći način $$ \alpha\cdot A=\left[\alpha\cdot a_{ij} \right]_{m\times n}. $$

$\textbf{Napomena. }$ Iz prethodne definicije se može videti da skalar $\alpha$ množi svaki element matrice $ A .$ Ovakav način množenja matrice skalarom predstavlja prirodno uopštenje množenja uređene $n$-torke skalarom.

$\textbf{Primer.}$ $$ 2\cdot\left[ \begin{array}{rrrr} 1 & -4 & 0 & 2 \\ -3 & 1 & \frac{3}{2} & 0 \end{array}\right ]=\left[ \begin{array}{rrrr} 2 & -8 & 0 & 4 \\ -6 & 2 & 3 & 0 \end{array}\right ] $$ Svakako važi $1\cdot A=A,$ kao i $0\cdot A=O,$ gde je $O$ nula matrica.

Za bilo koja dva skalara $\alpha$ i $\beta$ i proizvoljnu matricu $A$ važe sledeće osobine:

$1^{\circ}$ $\alpha\cdot A=A\cdot\alpha$ (komutativnost),

$2^{\circ}$ $(\alpha\cdot\beta)\cdot A=\alpha\cdot(\beta\cdot A)$ (asocijativnost).

$\textbf{Napomena. }$U osobini $2^{\circ}$ kada posmatramo proizvod $\alpha\cdot\beta$ podrazumevamo da je$\cdot$operacija množenja brojeva, dok u proizvodu $\beta\cdot A$ ova operacija predstavlja množenje matrice skalarom. Ubuduće ćemo koristiti istu oznaku za ove operacije, a iz konteksta će biti jasno o kojoj se operaciji tačno radi.