05 - Transponovanje matrice
Transponovanje matrice
  • Definicija transponovanja matrica
  • Primer
  • Osobine operacije transponovanja matrice
05
Definicija transponovanja matrica
Prilikom transponovanja matrice njene kolone postaju vrste (ili obrnuto). Transponovanjem matrica tipa $m\times n$ postaje matricaa tipa $n\times m.$

$\color{red} {\text{Transponovana matrica}\,\,\,}$ matrice $A$ tipa $m\times n,$ u oznaci $A^{T},$ jeste matrica tipa $n\times m$ koja se dobije od matrice A kada se njene kolone zamene odgovarajućim vrsta (ili obrnuto). Dakle, ako je $$ A=\left [ \begin{array}{cccccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1j} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2j} & \ldots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \ldots & a_{ij} & \ldots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots& \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mj} & \ldots & a_{mn} \end{array}\right ], $$ tada je $$ A^T=\left [ \begin{array}{cccccc} a_{11} & a_{21} & \ldots & a_{i1} & \ldots & a_{m1} \\ a_{12} & a_{22} & \ldots & a_{i2} & \ldots & a_{m2}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\ a_{1j} & a_{2j} & \ldots & a_{ij} & \ldots & a_{mj} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots& \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \ldots & a_{in} & \ldots & a_{mn} \end{array}\right ]. $$ Transponovanje matrice predstavlja unarnu matričnu operaciju.

Primer
Praktično ovladavanje operacijom transponovanja matrice.

$\textbf{Primer.}$ Za matricu $$ A=\left[ \begin{array}{rrr} -1 & 3 & 0 \\ -4 & 5 & -8 \\ 2 & 3 & -5 \\ 0 & 1 & -2 \end{array}\right ] $$ koja je tipa $4\times 3,$ njena transponovana matrica $$ A^{T}=\left[ \begin{array}{rrrr} -1 & -4 & 2 & 0\\ 3 & 5 & 3 & 1\\ 0 & -8 & -5 & -2 \end{array}\right ] $$ je tipa $3\times 4.$

Osobine operacije transponovanja matrice
Ako dva puta transponujemo neku matricu dobićemo polaznu. Zbir transponovanih matrica je jednak transponovanju njihovog zbira. Transponovanje ne deluje na množenje matrice skalarom.

Za dve matrice A i B istog tipa i za proizvoljan skalar α∈ℝ može se pokazati da važi:

$1^{\circ}$ $(A^T)^T=A$,

$2^{\circ}$ $(A+B)^T=A^T+B^T$,

$3^{\circ}$ $(\alpha\cdot A)^T=\alpha\cdot A^T$.

Kvadratna matrica $ A ∈ M _n $ koja je jednaka svojoj transponovanoj matrici, tj. za koju važi $A^T=A$ naziva se $\color{red} {\text{simetrična matrica}}.$

Kvadratna matrica $ A ∈ M _n $ za koju važi $A^T \cdot A= A \cdot A^T = I $ naziva se $\color{red} {\text{ortogonalna matrica}}.$

Za kvadratnu matricu $A ∈ M _ n $ važi $\det(A)=\det(A^T). $