06 - Množenje matrica
Množenje matrica
  • Pravilo za množenje matrica
  • Primer
  • Osobine operacije množenja matrica
  • Pravilo za množenje determinanti
  • Video klip
06
Pravilo za množenje matrica
Matrice se mogu pomnožiti ako je broj kolona kod prve jednak broju vrsta kod druge. Matrica koja je njihov proizvod ima broj vrsta prve i broj kolona druge matrice u tom proizvodu.

Matricu A=aijm×n je moguće pomnožiti matricom B=bijp×q u slučaju da je broj kolona matrice A jednak broju vrsta matrice B (tj. ako je n=p). Slično, matricu B je moguće pomnožiti matricom A samo ako je q=m.

Proizvod matrica A=aijm×n i B=bijp×q je matrica C=cijm×q i to se zapisuje C=A·B čiji se elementi cij određuju na osnovu sledeće formule:

\begin{equation} c_{ij}=\sum\limits_{k=1}^{n}a_{ik}\cdot b_{kj}=a_{i1}\cdot b_{1j}+a_{i2}\cdot b_{2j}+\ldots a_{in}\cdot b_{nj}, \end{equation} za $1 ≤ i ≤ m,$ $1 ≤ j ≤ q.$ Uočimo da matrica $C$ ima broj vrsta matrice $A$ i broj kolona matrice $B.$

Dakle, izračunavanje elementa $c_{ij}$ $(1 ≤ i ≤ m,1 ≤ j ≤ q)$ matrice $C$ ogleda se u tome što se uoči $i$-ta vrsta ($ 1≤ i ≤ m$) matrice $A$ i $j$-ta kolona ($1 ≤ i ≤ m$) matrice $B$ tj. $$ \left[ \begin{array}{cccccc} \vdots &\vdots &\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ a_{i1} & a_{i2} & \ldots & a_{ij} & \ldots & a_{in} \\ \vdots &\vdots &\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ \end{array}\right ]\cdot \left[ \begin{array}{cccccc} \ldots & b_{1j} & \ldots \\ \ldots & b_{2j} & \ldots \\ \vdots & \vdots &\vdots \\ \ldots & b_{ij} & \ldots \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ \ldots & b_{nj} & \ldots \end{array}\right ]. $$

Tada se množi prvi element $i$-te vrsta matrice $A,$ tj. element $a_{i1}$ s prvim elementom $j$-te kolone matrice $B,$ tj. elementom $b_{1j},$ zatim se množi drugi element $i$-te vrsta matrice $A,$ tj. element $a_{i2}$ s drugim elementom $j$-te kolone matrice $B$ tj.elementom $b_{2j}$ i tako redom. Zbir svih ovih proizvoda predstavlja element $c_{ij}$ ($1 ≤ i ≤ m,$ $1 ≤ j ≤ q $), kao što je i dato u prethodnoj formuli.

Primer
Prilikom množenja matrica uočavaju se vrste prve i kolone druge matrice. Nad njima se sprovodi množenje po prethodno objašnjenom postupku.

$\textbf{Primer.}\,\,\,$ Neka su date matrice $$ A=\left[ \begin{array}{rrr} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 3 & 2 \\ 4 & -3 & 1 \end{array}\right ] \text{ i } B=\left[ \begin{array}{rr} 1 & 4 \\ -1 & 2 \\ 3 & 6 \end{array}\right ]. $$ $\textbf{Rešenje.}\,\,\,$ Za date matrice moguće je izračunati proizvod matrica $A\cdot B,$ jer je broj kolona matrice $A$ jednak broju vrsta matrice $B.$ Množenje $B\cdot A$ nije moguće izvršiti jer broj kolona matrice $B$ nije jednak broju vrsta matrice $A.$ Tada imamo \begin{equation*} \begin{aligned} A\cdot B&=\left[ \begin{array}{rrr} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 3 & 2 \\ 4 & -3 & 1 \end{array}\right ] \cdot\left[ \begin{array}{rr} 1 & 4 \\ -1 & 2 \\ 3 & 6 \end{array}\right ]=\\[2mm] &=\left[ \begin{array}{ll} 1\cdot 1 + (-1)\cdot (-1) + 0\cdot 3 & 1\cdot 4 + (-1)\cdot 2 + 0\cdot 6 \\ 0\cdot 1 + 3\cdot(-1) + 2\cdot 3 & 0\cdot 4 + 3\cdot 2 + 2\cdot 6 \\ 4\cdot 1 + (-3)\cdot (-1) + 1\cdot 3 & 4\cdot 4 + (-3)\cdot 2 +1\cdot 6 \end{array}\right ]=\\[2mm] &=\left[ \begin{array}{ll} 2 & 2 \\ 3 & 18 \\ 10 & 16 \end{array}\right ]. \end{aligned} \end{equation*}

Osobine operacije množenja matrica
Množenja matrica nije komutativna opracija, ali jeste asocijativna i distributivna prema sabiranju matrica.
Matrično množenje predstavlja binarnu operaciju koja ne mora biti komutativna i zato se pri primeni ove vrste množenja ne sme menjati raspored matrica. Naime, iz prethodnog primera se može uočiti da za operaciju proizvoda dve matrice u opštem slučaju ne važi $A⋅B≠B⋅A.$

Štaviše, može se desiti da proizvod $A·B$ može da se izračuna, dok je proizvod $B·A$ nemoguće izračunati (što je slučaj iz prethodnog primera). S druge strane, ako je ove proizvode i moguće izračunati, u opštem slučaju oni ne moraju biti jednaki.

Specijalno, za matrice $A$ i $B$ za koje važi $A⋅B=B⋅A$ kažemo da su $\color{red} {\text{komutativne matrice }}.$ Primer komutativnih matrica u odnosu na operaciju množenja matrica, jesu dijagonalne matrice istog tipa (o čemu će biti reči na vežbama).
Za odgovarajuće matrice $A,$ $B$ i $C$ jediničnu matricu $I$ iskalar $\alpha\in\mathbb R$ važe sledeće osobine, koje, takođe, navodimo bez dokaza:

$1^{\circ}$ $(A\cdot B)\cdot C=A\cdot (B\cdot C)$,

$2^{\circ}$ $A\cdot (B+C)=A\cdot B+A\cdot C\quad \text{ i } \quad (A+B)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$,

$3^{\circ}$ $O\cdot A=A\cdot O=O$,

$4^{\circ}$ $\alpha\cdot(A\cdot B)=(\alpha\cdot A)\cdot B=A\cdot(\alpha\cdot B)$,

$5^{\circ}$ $(A\cdot B)^T=B^T\cdot A^T,$

$6^{\circ}$ $I\cdot A=A\cdot I=A,$

gde je $O$ nula matrica.
Pravilo za množenje determinanti
Determinanta proizvoda dva kvadratne matrice jednaka je proizvodu determinanti svake od njih.

$\textbf{Stav.}$ Za bilo koje dve kvadratne matrice $A$ i $B$ istog tipa važi $$ \det (A\cdot B)=\det (A)\cdot\det (B). $$ $\textbf{Dokaz.}$ Izvešćemo dokaz za slučaj $n=2.$ Neka je $$ A=\left[ \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right ] \text{ i } B= \left[ \begin{array}{cccccc} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{array}\right]. $$ Tada je $$ A\cdot B=\left[ \begin{array}{cc} a_{11} b_{11}+a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12}+ a_{12}b_{22}\\ a_{21}b_{11}+a_{22} b_{21}& a_{21}b_{12}+a_{22} b_{22} \end{array}\right ]. $$

Odavde dobijamo \begin{equation*} \begin{aligned} \det (A\cdot B)&=\left | \begin{array}{cc} a_{11} b_{11}+a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12}+ a_{12}b_{22}\\ a_{21}b_{11}+a_{22} b_{21}& a_{21}b_{12}+a_{22} b_{22} \end{array}\right |=\\[2mm] &=(a_{11} b_{11}+a_{12}b_{21})(a_{21}b_{12}+a_{22} b_{22})-\\ &\quad-(a_{21}b_{11}+a_{22} b_{21})(a_{11}b_{12}+ a_{12}b_{22})=\\[2mm] &=a_{11} b_{11}a_{21}b_{12}+a_{11} b_{11}a_{22} b_{22}+a_{12}b_{21}a_{21}b_{12}+a_{12}b_{21}a_{22} b_{22}-\\ &\quad-a_{21}b_{11}a_{11}b_{12} -a_{21}b_{11}a_{12}b_{22} -a_{22} b_{21}a_{11}b_{12} -a_{22} b_{21}a_{12}b_{22}=\\[2mm] &=a_{11}a_{22}(b_{11}b_{22}-b_{21}b_{12})-a_{21}a_{12}(b_{11}b_{22}-b_{21}b_{12})=\\[2mm] &=(a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12})(b_{11}b_{22}-b_{21}b_{12})=\\[2mm] &=\left| \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right |\cdot\left| \begin{array}{cccccc} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{array}\right|=\\[2mm] &=\det (A)\cdot\det (B).\hfill\square \end{aligned} \end{equation*} Iz ovog stava proizilazi $\color{red}{\text{pravilo za množenje determinanti}}$.

Video klip
Snimak sa Youtube-a: osnovne operacije s matricama.