$ \textbf{Definicija.} $ Ako je $ A $ kvadratna matrica i $ k \in\mathbb{N}, $ tada se pod $k$-tim stepenom matrice podrazumeva $$ A^k = \underbrace{ A \cdot A \cdots A }_k. $$ Nulti stepen kvadratne matrice je jedinična matrica $A^0 = I.$

Ako je $A$ kvadratna matrica a $ k $ i $ l $ su nenegativni celi brojevi, tada je $$ A^k \cdot A^l = A^{k+l} \quad \text{i} \quad \left(A^k\right)^l=A^{k\cdot l}. $$ Ako su $A$ i $B$ komutativne matrice, tada je $$ (A \cdot B)^k = A^k \cdot B^k. $$ Ako je $ A $ kvadratna matrica reda $ n, $ tada izraz $$ P_k ( A ) = a_k \cdot A^k + a_{k-1} \cdot A^{k-1}+\ldots+a_1 \cdot A + a_0 \cdot I $$ predstavlja $\color{red} {\text{matrični polinom stepena } k}.$

Ako je $ A^2 = A $ za matricu $A$ kažemo da je $\color{red} {\text{idempotentna}.}$

Ako je $ A^2 = I $ za matricu $A$ kažemo da je $\color{red} {\text{involutivna}.}$

Ako je $ A^m = O $ za neko $m \in \mathbb{N} , $ tada za matricu $A$ kažemo da je $\color{red} {\text{nilpotentna}.}$ Najmanji broj $k \in \mathbb{N} , $ za koji je $ A^k = O $ naziva se $\color{red} {\text{stepen nilpotentnosti}},\,\,\,$ gde je $ O $ nula matrica.

Odrediti $A^n,$ $ n \in \{ 2, 3, 4, \ldots \} $ ako je $$ A =\left [ \begin{array}{rr} 1 & -2 \\ -1 & 2 \\ \end{array}\right ]. $$ $\textbf{Rešenje.}\,\,\,$ Imamo da je $$ A^2 = \left [ \begin{array}{rr} 1 & -2 \\ -1 & 2 \\ \end{array}\right ] \cdot \left [ \begin{array}{rr} 1 & -2 \\ -1 & 2 \\ \end{array}\right ] = 3 \cdot \left [ \begin{array}{rr} 1 & -2 \\ -1 & 2 \\ \end{array}\right ] = 3 \cdot A, $$ $$ A^3 = A \cdot A^2 = A \cdot (3 \cdot A) = 3 \cdot A^2 = 3 \cdot ( 3 \cdot A ) = 3^2 \cdot A, $$ Generalno, možemo zaključiti da je $A^n = 3^{n-1}\cdot A, n \in \{ 2, 3, 4, \ldots \} . $

Dokaz izvodimo primenom matematičke indukcije.

Za $ n = 2 $ videli smo da je $A^2 = 3 \cdot A.$ Dakle, indukcija može da krene.

Pretpostavimo da za neko $k \in \mathbb{N}$ tvrđenje $A^k = 3^{k-1}\cdot A , $ važi. Tada imamo da je $$ A^{k + 1} = A^k \cdot A = 3^{k-1}\cdot A \cdot A = 3^{k-1} \cdot A^2 = 3^{k-1} \cdot 3 \cdot A = 3^k \cdot A. $$ Konačno, na osnovu principa matematičke indukcije imamo da važi $$ A^n = 3^{n-1}\cdot A, n \in \{ 2, 3, 4, \ldots \} . $$ Primenom prethodne formule možemo, na primer, odrediti $A^{10}.$ Tada je $$ A^{10} = 3^9\cdot A = 3^9\cdot \left [ \begin{array}{rr} 1 & -2 \\ -1 & 2 \\ \end{array}\right ]. $$