08 - Pokazna vežba
Pokazna vežba
  • Zadatak 1 (10 minuta)
  • Zadatak 2 (15 minuta)
  • Zadatak 3 (10 minuta)
  • Zadatak 4 (10 minuta)
  • Zadatak 5 (15 minuta)
  • Zadatak 6 (10 minuta)
  • Zadatak 7 - 1. deo (25 minuta)
  • Zadatak 7 - 2. deo
  • Zadatak 8 (10 minuta)
  • Zadatak 9 (10 minuta)
  • Zadatak 10 (10 minuta)
08
Zadatak 1 (10 minuta)
Množenje matrice skalarom, sabiranje i oduzimanje matrica,

Izračunati $$ 4\cdot\left[ \begin{array}{rrrrr} 2 & -3 & 0 & 4 & -5 \\ -2 & 4 & -\frac{1}{2} & 0 & 5\\ 0 & 2 &\frac{1}{4} & 2 & 3 \end{array}\right ]=\left[ \begin{array}{rrrrr} 8 & -12 & 0 & 16 & -20 \\ -8 & 16 & -2 & 0 & 20\\ 0 & 8 &1 & 8 & 12 \end{array}\right ] $$

Sabrati matrice $$ \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ 10 & 11 & 12 \end{array}\right ] \quad \text{ i } \quad \left[ \begin{array}{rrr} -6 & -5 & -4 \\ -3 & -2 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 3 & 4 & 5 \end{array}\right ] $$ $\textbf{Rešenje.}$ $$ \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ 10 & 11 & 12 \end{array}\right ]+\left[ \begin{array}{rrr} -6 & -5 & -4 \\ -3 & -2 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 3 & 4 & 5 \end{array}\right ]=\left[ \begin{array}{rrr} -5 & -3 & -1 \\ 1 & 3 & 5 \\ 7 & 9 & 11 \\ 13 & 15 & 17 \end{array}\right ]. $$

Zadatak 2 (15 minuta)
Sabiranje, oduzimanje matrica, množenje matrica skalarom, transponovanje matrica.
Za date matrice A i B $$ A= \begin{bmatrix} 5 & 2 & 1\\ -3 & 4 & 0 \end{bmatrix}, \quad B= \begin{bmatrix} 9 & 7 & 1\\ 4 &-4 &-2 \end{bmatrix} $$ odrediti $A+B, 3A-2B$ i $A^T.$

$\bf Rešenje.$ Mogu se sabirati (oduzimati) samo matrice istog tipa i to tako što im se odgovarajući elementi saberu (oduzmu). Matrica se množi brojem tako što se svi njeni elementi pomnože tim brojem. Transponovana matrica matrice A u oznaci $A^T$ se dobija kada se početnoj matrici zamene mesta vrsta i kolona. $$ \begin{equation} A+B= \begin{bmatrix} 5 & 2 & 1\\ -3 & 4 & 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 9 & 7 & 1\\ 4 &-4 &-2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5+9 & 2+7 & 1+1\\ -3+4 & 4-4 & 0-2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 14 & 9 & 2\\ 1 & 0 & -2 \end{bmatrix} \end{equation}, $$ $$ \begin{align} 3A-2B &= 3\cdot \begin{bmatrix} 5 & 2 & 1\\ -3 & 4 & 0 \end{bmatrix} - 2\cdot \begin{bmatrix} 9 & 7 & 1\\ 4 &-4 &-2 \end{bmatrix} =\\[2mm] &=\begin{bmatrix} 3\cdot 5 & 3\cdot 2 & 3\cdot 1\\ 3\cdot (-3) & 3\cdot 4 & 3\cdot 0 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2\cdot 9 & 2\cdot 7 & 2\cdot 1\\ 2\cdot 4 &2\cdot (-4) &2\cdot (-2) \end{bmatrix} =\\[2mm] &=\begin{bmatrix} 15-18 & 6-14 & 3-2\\ -9-8 & 12+8 & 0+4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 & -8 & 1\\ -17& 20 & 4 \end{bmatrix} , \end{align} $$ $$ A^T= \begin{bmatrix} 5 & -3\\ 2 & 4\\ 1 & 0 \end{bmatrix}. $$
Zadatak 3 (10 minuta)
Množenje dve matrice.
Neka su date matrice $$ A=\left[ \begin{array}{rrr} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 3 & 2 \\ 4 & -3 & 1 \end{array}\right ] \text{ i } B=\left[ \begin{array}{rr} 1 & 4 \\ -1 & 2 \\ 3 & 6 \end{array}\right ]. $$ Odrediti $A\cdot B$ i $B\cdot A.$

$\textbf{Rešenje.}\,\,\,$ Za date matrice moguće je izračunati proizvod matrica $A\cdot B,$ jer je broj kolona matrice $A$ jednak broju vrsta matrice $B.$ Množenje $B\cdot A$ nije moguće izvršiti jer broj kolona matrice $B$ nije jednak broju vrsta matrice $A.$ Tada imamo \begin{equation*} \begin{aligned} A\cdot B&=\left[ \begin{array}{rrr} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 3 & 2 \\ 4 & -3 & 1 \end{array}\right ] \cdot\left[ \begin{array}{rr} 1 & 4 \\ -1 & 2 \\ 3 & 6 \end{array}\right ]=\\[2mm] &=\left[ \begin{array}{ll} 1\cdot 1 + (-1)\cdot (-1) + 0\cdot 3 & 1\cdot 4 + (-1)\cdot 2 + 0\cdot 6 \\ 0\cdot 1 + 3\cdot(-1) + 2\cdot 3 & 0\cdot 4 + 3\cdot 2 + 2\cdot 6 \\ 4\cdot 1 + (-3)\cdot (-1) + 1\cdot 3 & 4\cdot 4 + (-3)\cdot 2 +1\cdot 6 \end{array}\right ]=\\[2mm] &=\left[ \begin{array}{ll} 2 & 2 \\ 3 & 18 \\ 10 & 16 \end{array}\right ]. \end{aligned} \end{equation*}
Zadatak 4 (10 minuta)
Provera komutativnosti matrica.
Poroveriti da li su matrice $$ A=\left[ \begin{array}{rr} 2 & 3\\ 1 & 4 \end{array}\right ] \quad \text{i} \quad B=\left[ \begin{array}{rr} 3 & 6\\ 2 & 7 \end{array}\right ] $$ komutativne u odnosu na operaciju množenja matrica.

$\bf Rešenje.\,\,$ Važi da je $$ A\cdot B=\left[ \begin{array}{rr} 2 & 3\\ 1 & 4 \end{array}\right ] \cdot \left[ \begin{array}{rr} 3 & 6\\ 2 & 7 \end{array}\right ] = \left[ \begin{array}{rr} 2\cdot3 + 3\cdot2 & 2\cdot6 + 3\cdot7\\ 1\cdot3 + 4\cdot2 & 1\cdot6 + 4\cdot7 \end{array}\right ] = \left[ \begin{array}{rr} 12 & 33\\ 11 &34 \end{array}\right ] $$ i $$ B\cdot A=\left[ \begin{array}{rr} 3 & 6\\ 2 & 7 \end{array}\right ] \cdot \left[ \begin{array}{rr} 2 & 3\\ 1 & 4 \end{array}\right ] = \left[ \begin{array}{rr} 3\cdot2 + 6\cdot1 & 3\cdot3 + 6\cdot4\\ 2\cdot2 + 7\cdot1 & 2\cdot3 + 7\cdot4 \end{array}\right ] = \left[ \begin{array}{rr} 12 & 33\\ 11 &34 \end{array}\right ] $$ Kako važi da je $A\cdot B = B\cdot A,$ zaključujemo da su date matrice komutativne.
Zadatak 5 (15 minuta)
Množenje tri matrice.
Za date matrice $$ A= \begin{bmatrix} 0 \\ -3 \end{bmatrix}, \quad B= \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1\\ 3 & 5 & 0\\ 6 & 0 & 2\\ 0 & 2 & 3 \end{bmatrix} \quad \text{i}\quad C= \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 0 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}.$$ odrediti u kom slučaju je moguće pomnožiti sve tri matrice i kada je to moguće izvršiti množenje.

$\bf Rešenje.\,$ Mogu se množiti samo matrice kod kojih je broj kolona prve jednak broju vrsta druge matrice. Element na mestu $(i,j)$ koja predstavlja proizvod dve matrice se dobija kada se uzmu $i$-ta vrsta prve matrice i $j$-ta kolona druge matrice i saberu proizvodi odgovarajućih elemenata. Ako su matrice koje množimo dimenzije $m \times n $ i $n \times k$ rezultat množenja je matrica dimenzija $m \times k $ Množenje matrica u opštem slučaju nije komutativna operacija. Kako matrica $A$ ima dimenziju $2 \times 1$, matrica $B$ $4 \times 3$ i matrica $C$ $3 \times 2,$ jedini mogući redosled množenja je $B\cdot C\cdot A.$ $$ \begin{align} B\cdot C\cdot A &= \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1\\ 3 & 5 & 0\\ 6 & 0 & 2\\ 0 & 2 & 3 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 0 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 0 \\ -3 \end{bmatrix} = \\[2mm] & = \begin{bmatrix} 1\cdot1+0\cdot0-1\cdot1 & 1\cdot2+0\cdot1-1\cdot0\\ 3\cdot1+5\cdot0+0\cdot1 & 3\cdot2+5\cdot1+0\cdot0\\ 6\cdot1+0\cdot0+2\cdot1 & 6\cdot2+0\cdot1+2\cdot0\\ 0\cdot1+2\cdot0+3\cdot1 & 0\cdot2+2\cdot1+3\cdot0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 0 \\ -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 2\\ 3 & 11\\ 8 & 12\\ 3 & 2 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 0 \\ -3 \end{bmatrix} = \\[2mm] & =\begin{bmatrix} 0\cdot0+2\cdot(-3) \\ 3\cdot0+11\cdot(-3) \\ 8\cdot0+12\cdot(-3) \\ 3\cdot0+2\cdot(-3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -6\\ -33\\ -36\\ -6 \end{bmatrix} \end{align} $$
Zadatak 6 (10 minuta)
Provera da li su dijagonalne matrice komutativne.
Dokazati da su dijagonalne matrice komutativne u odnosu na operaciju množenja matrica.

$\bf Dokaz.\,\,$ Podsetimo se da su dijagonalne matrice kvadratne matrice kod kojih su svi elementi van glavne dijagonale jednaki 0. Uočimo sada dve dijagonalne matrice $$ A=\left [ \begin{array}{cccccc} a_{11} & 0 & \ldots & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & a_{22} & \ldots & 0 & \ldots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & a_{ii} & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots& \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & 0 & \ldots & a_{nn} \end{array}\right ] $$ i $$B= \left [ \begin{array}{cccccc} b_{11} & 0 & \ldots & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & b_{22} & \ldots & 0 & \ldots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & b_{ii} & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots& \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & 0 & \ldots & b_{nn} \end{array}\right ]. $$

Tada je $$ A\cdot B = \left [ \begin{array}{cccccc} a_{11} \cdot b_{11}& 0 & \ldots & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & a_{22} \cdot b_{22}& \ldots & 0 & \ldots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & a_{ii}\cdot b_{ii} & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots& \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & 0 & \ldots & a_{nn}\cdot b_{nn} \end{array}\right ]. $$ i $$ B\cdot A = \left [ \begin{array}{cccccc} b_{11} \cdot a_{11}& 0 & \ldots & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & b_{22} \cdot a_{22}& \ldots & 0 & \ldots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & b_{ii}\cdot a_{ii} & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots& \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & 0 & \ldots & b_{nn}\cdot a_{nn} \end{array}\right ]. $$ Kako je množenje brojeva komutativna operacija, tj. važi da je $a_{ii}\cdot b_{ii}=b_{ii}\cdot a_{ii},$ za svako $i=1,2,\ldots,n$ zaključujemo da je $A\cdot B = B\cdot A.$

Zadatak 7 - 1. deo (25 minuta)
Ispitivanje ortogonalnosti kvadratne matrice drugog reda.
Proveriti da li su matrice $$ a) \,\,\, A = \begin{bmatrix} \sin x & \cos x \\ -\cos x & \sin x \end{bmatrix} \quad b) \,\,\, B = \begin{bmatrix} 0 & \frac1{\sqrt3} & \frac{\sqrt2}{\sqrt3}\\ \frac1{\sqrt2} & \frac1{\sqrt3} & -\frac1{\sqrt6}\\ -\frac1{\sqrt2} & \frac1{\sqrt3} & -\frac1{\sqrt6} \end{bmatrix}. $$ ortogonalne.

$\bf Rešenje.\,\,$ a) Imamo da je $$ \begin{align} A\cdot A^T &= \begin{bmatrix} \sin x & \cos x \\ -\cos x & \sin x \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \sin x & -\cos x \\ \cos x & \sin x \end{bmatrix} = \\[2mm] &=\begin{bmatrix} \sin^2 x +\cos^2 x & -\sin x\cos x +\sin x\cos x \\ -\cos x\sin x +\sin x\cos x & \sin^2 x + \cos^2 x \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I. \end{align} $$ Takođe, važi da je $$ \begin{align} A^T\cdot A &= \begin{bmatrix} \sin x & -\cos x \\ \cos x & \sin x \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \sin x & \cos x \\ -\cos x & \sin x \end{bmatrix}= \\[2mm] &=\begin{bmatrix} \sin^2 x +\cos^2 x & -\sin x\cos x +\sin x\cos x \\ -\cos x\sin x +\sin x\cos x & \sin^2 x + \cos^2 x \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I. \end{align} $$ Dakle, kako važi da je $A\cdot A^T=A^T\cdot A=I,$ zaključujemo da je matrica $A$ ortogonalna.
Zadatak 7 - 2. deo
Ispitivanje ortogonalnosti kvadratne matrice trećeg reda.

b) Proverićemo da li važi da je $B\cdot B^T = B^T \cdot B = I.$ Zaista, imamo da je $$ \begin{align} B\cdot B^T&= \begin{bmatrix} 0 & \frac1{\sqrt3} & \frac{\sqrt2}{\sqrt3}\\ \frac1{\sqrt2} & \frac1{\sqrt3} & -\frac1{\sqrt6}\\ -\frac1{\sqrt2} & \frac1{\sqrt3} & -\frac1{\sqrt6} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 0 & \frac1{\sqrt2} & -\frac1{\sqrt2}\\ \frac1{\sqrt3} & \frac1{\sqrt3} & \frac1{\sqrt3}\\ \frac{\sqrt2}{\sqrt3} & -\frac1{\sqrt6} & -\frac1{\sqrt6} \end{bmatrix} = \\[2mm] &=\begin{bmatrix} 0 +\frac13+\frac23& 0+\frac13-\frac13 & 0+\frac13-\frac13\\ 0+\frac13-\frac13 & \frac12 +\frac13+\frac16 & \frac12 -\frac13-\frac16\\ 0+\frac13-\frac13 & -\frac12 +\frac13+\frac16 & \frac12 +\frac13+\frac16 \end{bmatrix}=\\ &=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 &1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = I. \end{align} $$ Analogno, važi i $B^T \cdot B = I.$ Dakle, matrica $B$ je ortogonalna.

Zadatak 8 (10 minuta)
Ortoganalna matrica i njene osobine.
Ako je $A$ proizvoljna ortogonalna matrica, dokazati da je njena determinanta $\pm 1.$

$\bf Rešenje.\,\,$ Podsetimo se da je ortogonalna matrica, kvadratna matrica za koju važi da je $A\cdot A^T = A^T\cdot A = I,$ pa je $det (A\cdot A^T) = det(I)=1.$

S druge strane, važi da je $$ det (A\cdot A^T) = det(A)\cdot det(A^T) = det(A)\cdot det(A) = [det(A)]^2. $$ Ukupno, dobijamo da je $$ [det(A)]^2 = 1. $$ Odavde imamo da je $ det(A) = 1$ ili $ det(A) = -1.$
Zadatak 9 (10 minuta)
Provera da li data kvadratna matrica ispunjava dati uslov.
Data je matrica $$ A=\begin{bmatrix} 3&2\\ 4&5 \end{bmatrix} . $$ Da li ova matrica zadovoljava relaciju $A^2-8A+7I=O,$ gde je $O$ odgovarajuća nula matrica?

$\bf Rešenje.\,\,$ Važi da je $$ A^2 = A \cdot A = \begin{bmatrix} 3&2\\ 4&5 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3&2\\ 4&5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3\cdot 3+2\cdot 4&3\cdot 2+2\cdot5\\ 4\cdot3+5\cdot4&4\cdot2+5\cdot5 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 17&16\\ 32&33 \end{bmatrix}. $$ Tada je $$ A^2-8A+7I = \begin{bmatrix} 17&16\\ 32&33 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 24&16\\ 32&40 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 7&0\\ 0&7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0&0\\ 0&0 \end{bmatrix}, $$ pa je data relacija zadovoljena.
Zadatak 10 (10 minuta)
Provera regularnosti kvadratnih matrica.
Za matrice $$ A=\left[ \begin{array}{rr} 2 & 3\\ 1 & 4 \end{array}\right ] \quad \text{i} \quad B=\left[ \begin{array}{rrr} 2 & 1& 0\\ 3 & 4 &-2\\ -1 & -3 & 2 \end{array}\right ] $$ proveriti da li su regularne.

$\bf Rešenje. \,\,$ Regularnost kvadratne matrice podrazumeva proveru da li njena determinanta različita od nule. Važi da je $$ det(A) = \left|\begin{array}{rr} 2 & 3\\ 1 & 4 \end{array}\right| = 2\cdot 4 - 1\cdot 3= 5. $$ Dakle matrica $A$ jeste regulalna matrica.

Izračunajmo, sada, determinantu matrice $B.$ Razvijanjem njene determinante po elementima prve vrste (tj.primenom Laplasove teoreme) imamo da je $$ det(B)=\left|\begin{array}{rrr} 2 & 1& 0\\ 3 & 4 &-2\\ -1 & -3 & 2 \end{array}\right| = 2 \cdot \left|\begin{array}{rr} 4 & -2\\ -3 & 2 \end{array}\right| - \left|\begin{array}{rr} 3 & -2\\ -1 & 2 \end{array}\right| = 2\cdot (8-6) -(6-2)=0. $$ Dakle matrica $B$ nije regularna matrica (singularna je).