Zadaci za samostalni rad

Zadaci za vežbu - 1 deo
Zadaci za vežbu - 2 deo

10

Zadaci za vežbu - 1 deo

Zadaci koje studenti treba da provežbaju.

Odrediti domen funkcije

$z = x - \sqrt{x^{2} - y^{2} - 5}$ rešenje: $x^{2} - y^{2} \geq 5$

Odrediti domen funkcije

$z = \frac{2}{y} + x^{2} + 3 \ln y - y - 6 x + 9$ rešenje: $\{(x, y) : x \in R, y > 0\}$

Ispitati neprekidnost funkcije

$f (x, y) = \{\begin{matrix} \frac{x^{3} + y^{3}}{x^{2} + y^{2}} & (x, y) \neq (0, 0) \\ 0 & (x, y) = (0, 0) \end{matrix}$ rešenje: neprekidna

Dokazati da funkcija $z = \sqrt{x} \sin \frac{y}{x}$ zadovoljava jednačinu $2 x \frac{𝜕 z}{𝜕 x} + 2 y \frac{𝜕 z}{𝜕 y} = z .$

Izračunati vrednost parcijalnih izvoda prvog i drugog reda u tački $M (0, 0)$ funkcije $z = x \sin y - x^{2} y^{3} + x - 3 y \cos 2 x - 1$ .

rešenje: $\frac{𝜕 z}{𝜕 x} (0, 0) = 1, \frac{𝜕 z}{𝜕 y} (0, 0) = - 3, \frac{𝜕^{2} z}{𝜕 x 𝜕 y} (0, 0) = 1, \frac{𝜕^{2} z}{𝜕^{2} x} (0, 0) = 0, \frac{𝜕^{2} z}{𝜕^{2} y} (0, 0) = 0 .$

$\bf Zadatak\;$ Odrediti prve i druge parcijane izvode sledećih funkcija:
a) $z = x^3 + y^3 − 3 x y$
b) $z =\frac{x − y}{x + y}$
c) $z =\sqrt{x^2 − y^2}$
d) $z =\ln(x +\sqrt{x^2 + y^2})$
e) $z = x^y$

Vreme izrade: 1. 5 minuta; 2. 5 minuta; 3. 10 minuta; 4. 10 minuta; 5. 10 minuta; 6. 10 minuta; 7. a) do e) po 10 minuta

Zadaci za vežbu - 2 deo

Zadaci koje studenti treba da dodatno provežbaju - određivanje lokalni ekstremi.

Odrediti ekstremne vrednosti funkcije $z = x^{3} + 8 y^{3} - 6 x y + 5 .$

rešenje: $z_{m i n} (1, \frac{1}{2}) = 4$

Odrediti ekstremne vrednosti funkcije $z = \frac{1 + x - y}{\sqrt{1 + x^{2} + y^{2}}} .$

rešenje: $z_{m a x} (1, - 1) = \sqrt{3}$

$\bf Zadatak\;$ Data je funkcija $z(x, y) = −2x^2 − 4y^2 + 4x + 2y − 4xy − 12. $ Odrediti lokalne ekstreme ove funkcije i vrednost funkcije u tim tačkama.
$\bf Rezultat.\;$ $z_{max}\left(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right)=-\frac{35}{2}.$

1. 15 minuta: 2. 15 minuta; 3. minuta