02 - Granična vrednost funkcije dve promenljive
Granična vrednost funkcije dve promenljive
Usvajanje pojma granične vrednosti i neprekidnosti funkcije dve promenljive
  • Definicija granične vrednosti
  • Primer
02
Definicija granične vrednosti
Za granične vrednosti funkcije dve ili više promenljivih važe analogni stavovi kao za granične vrednosti funkcije jedne promenljive.
Da bismo definisali graničnu vrednost funkcije dve promenljive potrebno je, najpre, definisati pojam okoline tačke $A(x_0,y_ 0).$

$\textbf{ Definicija.}$ Proizvoljan skup tačaka u ravni se naziva $\color{red} {\text{okolina tačke}}$ $A(x_0,y_0)$ ako i samo ako sadrži unutrašnjost kruga sa centrom u tački $A$ poluprečnika $\varepsilon,$ gde je $\varepsilon$ pozitivan broj.

Specijalno, unutrašnjost kruga sa centrom u tački $A$ poluprečnika $\varepsilon,$ zovemo $\color{red} {\varepsilon-\text{okolinom tačke}}$ $A$. Označavaćemo je sa $U_{\varepsilon} (A).$

$\textbf{ Definicija.}$ Broj $b$ se naziva $\color{red} {\text{granična vrednost funkcije}}\,\,\,$ $z=f(x,y),$ kada $x\to x_0,$ $y\to y_0$ ako za svako $\varepsilon > 0$ postoji $\delta$-okolina tačke $A(x_0,y_0)$ takva da za sve tačke iz te okoline, osim možda u tački $A,$ važi nejednakost $$ \big|f(x,y)-b\big| < \varepsilon. $$ Tada pišemo $$ \lim\limits_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=b, \quad\text{ ili }\quad \lim\limits_{\substack{x\to x_0\\ y\to y_0}}f(x,y)=b. $$ Analogno se može definisati i granična vrednost funkcije tri i više promenljivih.

Napomena. Ako granična vrednost funkcije dve promenljive postoji u nekoj tački, ona mora davati istu konačnu vrednost, bez obzira kako joj prilazimo. To znači da, ako želimo da dokažemo da granična vrednost u nekoj tački ne postoji, dovoljno je naći dva pravca po kojima prilazimo posmatranoj tački, a da pri tom dobijamo različite vrednosti posmatranih limesa (konačne ili beskonačne).

Primer
Određivanje granične vrednosti funkcije dve promenljive.
Ispitati da li postoje sledeće granične vrednosti:
a) $\underset{\left( x,y\right) \rightarrow \left(0,0\right) }{\lim}\dfrac{2x^2-3y^2}{x^2+y^2}$ ;
b) $\underset{\left( x,y\right) \rightarrow \left(0,0\right) }{\lim }\dfrac{xy^2}{x^2+y^4};$
c) $\underset{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }{\lim }\dfrac{ x ^ { 6 } - y ^ { 6 } }{ x ^ { 3 } + y ^ { 3 } } ; $

$\textbf{ Rešenje. }$ a) Posmatrana granična vrednost ne postoji u tački $(0,0).$ Naime, ako se tačka $\left( x,y\right) $ približava tački $\left(0,0\right) $ po pravoj $x=0$ (tj. po $y-$osi), tada je $$ \underset{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }{\lim }\frac{ 2x^{2}-3y^{2}}{x^{2}+y^{2}}=\underset{{y } \rightarrow 0 }{\lim }\frac{-3y^{2}}{y^{2}}=-3, $$ a ako se približava po pravoj $y=0$ (tj. po $x-$osi), onda je $$ \underset{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }{\lim }\frac{ 2x^{2}-3y^{2}}{x^{2}+y^{2}}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{2x^2}{x^2}=2. $$ Dakle, posmatrana granična vrednost ne postoji u tački $(0,0)$.
b) Posmatrana granična vrednost ne postoji u tački $(0,0).$ Ako se tačka $\left( x,y\right) $ približava tački $\left(0,0\right) $ po pravoj $y=2x$, tada je $$ \underset{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }{\lim }\dfrac{xy^{2}}{x^{2}+y^{4}}=\underset{x\rightarrow 0}{\lim }\frac{4x^{3}}{ x^{2}+16x^{4}}=\underset{x\rightarrow 0}{\lim }\frac{4x}{1+16x^{2}}=0. $$ Međutim, ako se tačka $\left( x,y\right) $ približava tački $\left( 0,0\right) $ po paraboli $y=\sqrt{x}$, tada je $$\underset{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }{\lim }\frac{ xy^{2}}{x^{2}+y^{4}}=\underset{x\rightarrow 0}{\lim }\frac{x^{2}}{x^{2}+x^{2}}=\frac{1}{2}. $$ Dakle, posmatrana granična vrednost ne postoji u tački $(0,0)$.

c) Posmatrana granična vrednost postoji, jer je \begin{align}\underset{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }{\lim }\frac{ x^{6}-y^{6}}{x^{3}+y^{3}} & =\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\frac{(x^3-y^3)(x^3+y^3)}{x^3+y^3} = \\ & = \underset{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }{\lim }\left( x^{3}-y^{3}\right) =0. \end{align}