Neprekidnost funkcije dve promenljive
- Definicija neprekidnosti
- Primeri
03
Definicija neprekidnosti
Uveden je pojam neprekidnosti funkcije u tački i pojam neprekidnosti funkcije na zatvorenoj oblasti.
Pojam neprekidnosti funkcija dve ili više promenljivih u tački se zadaje analogno kao i u slučaju funkcije jedne promenljive.
$\textbf{ Definicija. } $ Funkcija $ z = f ( x , y ) $ je $\color{red} {\text{neprekidna u tački}}$ $ A ( x _ 0, y _ 0 ) $ ako je definisana u nekoj okolini ove tačke i ako je
$$
\lim\limits_{\substack{x\to x_0\\ y\to y_0}} f(x,y)=f(x_0,y_0).
$$
Za funkcije dve ili više promenljivih koje su neprekidne u nekoj tački važe analogni stavovi kao za funkcije jedne promenljive. Kod funkcije jedne promenljive smo neprekidnost posmatrali na intervalu, dok se kod funkcija dve ili više promenljivih posmatra neprekidnost funkcije u odgovarajućoj oblasti na analogan način i sa analognim stavovima.
Poznajući pojam dvodimenzionalne oblasti možemo definisati $\color{red} {\text{neprekidnosti funkcije na oblasti u }\mathbb{R}^2}.$
Pri definisanju pojma neprekidnosti na zatvorenoj oblasti zahteva se neprekidnost u svakoj tački te oblasti, pri čemu se podrazumeva da je funkcija neprekidna u graničnoj tački $ A , $ ako je ispunjena jednakost
$$\lim\limits_{\substack{x\to x _0\\ y\to y_0}} f ( x , y ) = f ( x _ 0 , y _ 0 ) , $$
gde tačke $ ( x , y ) $ teže ka tački $ A ( x _ 0 , y _ 0 ) $ po tačkama iz te oblasti.
Za funkcije neprekidne u ograničenoj zatvorenoj oblasti $ D $ važi da su u toj oblasti:
1. ograničene,
2. dostižu u toj oblasti najveću i najmanju vrednost,
3. dostižu u toj oblasti svaku vrednost između najveće i najmanje vrednosti.
Primeri
Provera neprekidnosti funkcije u tački.
Ispitati neprekidnost funkcije
$$
f(x,y)=\left\{
\begin{array}{rr}
\dfrac{xy}{x^2+y^2}, & ~ (x,y)\neq (0,0) \\[2mm]
0, & ~ (x,y)= (0,0)
\end{array}
\right.
$$
u tački $(0,0).$
$\textbf{ Rešenje. }$ Proverimo šta se dešava u u tački $(0,0).$ Za $x=y$ imamo da je
$$
\quad f(x,x)=\frac{x^2}{2x^2}=\frac{1}{2},
$$
dok za $x=-y$ važi
$$
\quad f(x,-x)=\frac{-x^2}{2x^2}=-\frac12.
$$
Dakle,
$$\lim\limits_{\substack{x\to 0\\ y\to 0}} f(x,y)$$
ne postoji, pa je funkcija $f(x,y)$ prekidna u tački $(0,0).$
Ispitati neprekidnost funkcije
$$
f(x,y)=\left\{
\begin{array}{rr}
\dfrac{x^3}{x^2+y^2}, & ~ (x,y)\neq (0,0), \\[2mm]
0, & ~ (x,y)= (0,0).
\end{array}
\right.
$$
u tački $(0,0).$
${\bf Rešenje. }$ Kako važi
$$
f(x,y)=\dfrac{x^3}{x^2+y^2}=x\cdot\dfrac{x^2}{x^2+y^2}\quad\text{i}\quad0\leq\dfrac{x^2}{x^2+y^2}\leq1,
$$
imamo da je
$$
\lim\limits_{\substack{x\to 0\\ y\to 0}} f(x,y)=\lim\limits_{\substack{x\to 0\\ y\to 0}} x\cdot\dfrac{x^2}{x^2+y^2}=0=f(0,0).
$$
Poslednje važi, jer predstavlja proizvod beskonačno male veličine (to je $x$) i ograničene funkcije (to je $\frac{x^2}{x^2+y^2}).$
Dakle, posmatrana funkcija je neprekidna na celom $\mathbb{R}^2.$
