Prvi parcijalni izvodi
- Totalni priraštaj
- Parcijalni izvodi funkcije dve promenljive
- Primer
- Autorski video klip
- Video klip
04
Totalni priraštaj
Korišćenjem pojmova totalni priraštaj funkcije i parcijalni priraštaj funkcije po odgovarajućoj promenljivoj, mogu se uvesti pojmovi parcijalni izvod funkcije po odgovarajućoj promenljivoj.
Kao što smo rekli, pod pojmom funkcije dve promenljive definisane na $ \cal D $ (što će najčešće biti oznaka za domen) podrazumevamo jednoznačno dodeljivanje
\begin{equation}\tag{1}
(x,y)\mapsto f(x,y)\in\mathbb R,
\end{equation}
gde $ ( x , y ) \in \cal D$.
Formulom (1) zadat je pojam navedene funkcije čije vrednosti na $\cal D$ se generišu pravilom $ f $ i ona može biti data u eksplicitnom, implicitnom ili parametarskom obliku. Mi ćemo u većini razmatranja koristiti eksplicitan oblik zadavanja, a analogne teorije postoje i za druga dva oblika.
Grafik generisan formulom (1) predstavlja skup tačaka u $\mathbb{R}^3$ dat sa
\[
\Gamma_f=\Big\{\big(x,y,f(x,y)\big)\mid(x,y)\in D\Big\}\subseteq \mathbb R^3.
\]
U našem razmatranju isključivo ćemo se baviti funkcijama koje će za grafik imati neprekidnu, ili na malom delu prekidnu površ. Znači, ubuduće imamo posla sa funkcijama oblika
\[
z=f(x,y),\;\;\text{za }(x,y)\in \cal D\,.
\]
Da ponovimo, kod ovakvih funkcija veličine $x$ i $y$ su nezavisne promenljive, a veličina $z$ je zavisna realna promenljiva.
Neka je data oblast $\cal D \subseteq \mathbb{R}^2$ i neka je data tačka $A=(a_1,a_ 2)\in\cal D.$ Takođe, neka je na $D$ data funkcija $z=f(x,y).$
$\bf Definicija.$ $\color{red} {\text{Totalni priraštaj funkcije}}\,\,$ $f$ u tački $A$ (sa priraštajima argumenata $\Delta x$ i $\Delta y$), u oznaci $\Delta f,$ je veličina
\begin{equation}\tag{2}
\Delta f=f(a_1+\Delta x,a_2+\Delta y )-f(a_1,a_2)\,,
\end{equation}
gde su $ \Delta x $ i $ \Delta y $ realne veličine različite od nule.
U slučaju kada u (2) važi da je:
$1^\circ$ $ \Delta y = 0 $ -- tada $\Delta f=f(a_1+\Delta x,a_2)-f(a_1,a_2)$ nazivamo parcijalnim priraštajem funkcije $ f $ u tački $A$ po prvoj promenljivoj (po $ x $) i označavamo sa $ \Delta_x f $.
$2^\circ$ $ \Delta x=0 $ -- tada $\Delta f= f(a_1,a_2+\Delta y)-f(a_1,a_2)$ nazivamo parcijalnim priraštajem funkcije $ f $ u tački $A$ po drugoj promenljivoj (po $ y $) i označavamo sa $ \Delta_y f . $
Parcijalni izvodi funkcije dve promenljive
Parcijalni izvod neke funkcije može da postoji ili ne u $ ℝ $ u ${±∞}.$
Koristeći $1^\circ $ i $2^\circ $ kreirajmo sledeće granične vrednosti:
\begin{align}\tag{1}
&\lim_{ \Delta x \to 0} \frac{ \Delta_x f }{ \Delta x }\,,\\[2mm] \tag{2}
&\lim_{ \Delta y \to 0} \frac{ \Delta_y f }{\Delta y}\,.
\end{align}
Granične vrednosti (1) i (2) mogu postojati ili ne u $ \mathbb R\cup\{\pm\infty\}$. Ako su konačne, nazovamo ih $\color{red} {\text{parcijalni izvodi prvog reda}}\,\,$ funkcije $f$ u tački $A\in \cal D$ po prvoj, odnosno po drugoj promenljivoj, respektivno. U tom slučaju koristimo jednu od sledećih oznaka
\[
\begin{gathered}
f'_x (x,y)\big\rvert_A,\quad\frac{ \partial f }{ \partial x},\quad\text{ ili }\quad f'_x (A),\\[2mm]
f'_y ( x , y ) \big\rvert_A,\quad\frac{ \partial f }{ \partial y } ,\quad\text{ ili }\quad f'_y(A).
\end{gathered}
\]
Za ova dva parcijalna izvoda prvog reda možemo kreirati funkcije tih parcijalnih izvoda
\begin{equation}\label{eq:34}
\begin{split}
&f'_x(x,y),\quad\text{ za } (x,y)\in \cal D\,,\\
&f'_y(x,y) \quad\text{ za } (x,y)\in \cal D\,.
\end{split}
\end{equation}
Prethodno date funkcije su opet funkcije po promenljivim $x$ i $y.$
$\bf Napomena.$ Praktično nalaženje funkcija koje su parcijalni izvodi početne funkcije se može uraditi na sledeći način:
- polaznu funkciju $f(x,y)$ diferenciramo samo po $x$ ($y$ smatramo konstantom) i time dobijemo $f'_x(x,y),$ za $(x,y)\in\cal D,$
- polaznu funkciju $f(x,y)$ diferenciramo samo po $y$ ($x$ smatramo konstantom) i time dobijemo $f'_y(x,y),$ za $(x,y)\in\cal D.$
Primer
Određivanje prvih parcijalnih izvoda.
Naći odgovarajuće parcijalne izvode funkcija:
$$
a)\,z=\arctg \frac{ x }{ y },\qquad b)\,z=\sqrt{x^2+y^2}\text{ u tački } A(1,1).
$$
$\bf Rešenje . $
a)
$$
\frac{ \partial z }{ \partial x}=\frac{1}{1+\left(\frac{x}{y}\right)^2}\cdot\left(\frac{x}{y}\right)'_x=\frac{1}{1+\frac{x^2}{y^2}}\cdot\frac{1}{y}=\frac{y^{2}}{x^2+y^2}\cdot\frac{1}{y}=\frac{y}{x^2+y^2},
$$
$$
\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{1}{1+\left(\frac{x}{y}\right)^2}\cdot\left(\frac{x}{y}\right)'_y=\frac{1}{1+\frac{x^2}{y^2}}\cdot\frac{-x}{y^2}=\frac{y^2}{x^2+y^2}\cdot\frac{-x}{y^2}=-\frac{x}{x^2+y^2}.
$$
b)
$$
\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{2x}{2\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},\quad \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{2y}{2\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}.
$$
Tada je: $z'_x (1,1)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ i $z'_y(1,1)=\dfrac1{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
Autorski video klip
Parcijani izvodi prvog reda. Primeri.
Video klip
Snimak sa Youtube-a
