Parcijalni izvodi višeg reda

Usvajanje pojma parcijalnog izvoda višeg reda od jedan

Drugi parcijalni izvodi
Primer
Stav o jednakosti mešovitih parcijalnih izvoda drugog reda
Video klip

05

Drugi parcijalni izvodi

Parcijalni izvodi drugog reda se dobijaju traženjem parcijalnih izvoda od parcijalnih izvoda prvog reda.

Za funkciju $f$ u tački $A \in D$ možemo formirati parcijalne izvode drugog reda po jednoj, odnosno po drugoj promenljivoj na sledeći način: neka su date izvodne funkcije parcijalnih izvoda prvog reda funkcije $z = f (x, y), (x, y) \in D$ sa

${f ˊ}_{x} (x, y), {f ˊ}_{y} (x, y), (x, y) \in D .$

Za njih je moguće (ponaosob) potražiti parcijalne izvode prvog reda u tački $A \in D$ (ako su za to obezbedeni uslovi) i time dobijamo:

${{({f ˊ}_{x} (x, y))}_{x}^{'}|}_{A}, {{({f ˊ}_{x} (x, y))}_{y}^{'}|}_{A}, {{({f ˊ}_{y} (x, y))}_{x}^{'}|}_{A}, {{({f ˊ}_{y} (x, y))}_{y}^{'}|}_{A},$

gde je $A =$ ( $a$ 1, $a$ 2) $\in D$ .

Standardne oznake za prethodno date parcijalne izvode su:

${{f''}_{x x} (x, y)|}_{A}, {{f''}_{x y} (x, y)|}_{A}, {{f''}_{y x} (x, y)|}_{A}, {{f''}_{y y} (x, y)|}_{A}$

ili

$\frac{𝜕}{𝜕 x} (\frac{𝜕 f}{𝜕 x}), \frac{𝜕}{𝜕 y} (\frac{𝜕 f}{𝜕 x}), \frac{𝜕}{𝜕 x} (\frac{𝜕 f}{𝜕 y}), \frac{𝜕}{𝜕 y} (\frac{𝜕 f}{𝜕 y}) .$

Takodje, umesto oznaka

${{f''}_{x x} (x, y)|}_{A}, {{f''}_{y y} (x, y)|}_{A}$

mogu se koristiti i oznake

${{f''}_{x^{2}} (x, y)|}_{A}, {{f''}_{y^{2}} (x, y)|}_{A} .$

Parcijalni izvodi ${f ˊ ˊ}_{x y} (x, y) |_{A}^{} i {f ˊ ˊ}_{y x} (x, y) |_{A}^{}$ se nazivaju mešoviti parcijalni izvodi drugog reda.

Umesto oznaka

$\frac{𝜕}{𝜕 x} (\frac{𝜕 f}{𝜕 x}), \frac{𝜕}{𝜕 y} (\frac{𝜕 f}{𝜕 x}), \frac{𝜕}{𝜕 x} (\frac{𝜕 f}{𝜕 y}), \frac{𝜕}{𝜕 y} (\frac{𝜕 f}{𝜕 y}) .$

mogu se koristiti i oznake:

$\frac{𝜕^{2} f}{𝜕 x^{2}}, \frac{𝜕^{2} f}{𝜕 y 𝜕 x}, \frac{𝜕^{2} f}{𝜕 x 𝜕 y}, \frac{𝜕^{2} f}{𝜕 y^{2}} .$

Napomena. Od posmatrane funkcije $f$ (ako su obezbedjeni uslovi) možemo kreirati i parcijalne izvode $k$ -tog reda ( $k \geq 3$ ), na analogan način kao što smo formirali parcijalne izvode drugog reda. Oznake za takve parcijalne izvode i rasudjivanje o njima je potpuno analogno sa oznakama i rasudjivanjem kao kod parcijalnih izvoda drugog reda. Parcijalnih izvoda $k$ -tog reda ima 2^k.

Primer

Određivanje drugih parcijalnih izvoda.

Odrediti druge parcijalne izvode funkcije:

$z = \frac{x^{2}}{2 - y}$

Rešenje. Prvi parcijalni izvodi su:

$z_{x}^{'} = {(\frac{x^{2}}{2 - y})}_{x}^{'} = \frac{2 x}{2 - y} \land z_{y}^{'} = {(\frac{x^{2}}{2 - y})}_{y}^{'} = \frac{x^{2}}{{(2 - y)}^{2}} .$

Drugi parcijalni izvodi su:

$\begin{matrix} z_{x x}^{''} = {(z_{x}^{'})}_{x}^{'} = {(\frac{2 x}{2 - y})}_{x}^{'} = \frac{2}{2 - y} \\ z_{x y}^{''} = {{(z_{x}^{'})}_{y}^{'} = (\frac{2 x}{2 - y})}_{y}^{'} = \frac{2 x}{{(2 - y)}^{2}} \end{matrix}$

$z_{y x}^{''} = {{(z_{y}^{'})}_{x}^{'} = (\frac{x^{2}}{2 - y})}_{x}^{'} = \frac{2 x}{{(2 - y)}^{2}}$

$z_{y y}^{''} = {(z_{y}^{'})}_{y}^{'} = {(\frac{x^{2}}{{(2 - y)}^{2}})}_{y}^{'} = \frac{2 x^{2}}{{(2 - y)}^{3}}$

Primećujemo da je $z_{x y}^{''} = z_{y x}^{''}$ što važi uvek kada su parcijalni izvodi neprekidne funkcije.

Stav o jednakosti mešovitih parcijalnih izvoda drugog reda

Neprekidnost drugih parcijalnih izvoda nije najširi uslov da bi važila njihova jednakost u datoj tački, ali za naše potrebe ovaj stav će biti dovoljan.

Mešoviti parcijalni izvodi drugog reda neke funkcije $z=f(x,y)$ u nekoj tački $A$ ne moraju biti jednaki u opštem slučaju. Za naš dalji rad će biti od interesa kada su oni jednaki. O tome govori naredni stav.

$\bf Stav.\;$ Neka je data funkcija $z=f(x,y)$ na oblasti $\cal{D}⊆\mathbb{R}^2$ i neka ova funkcija na $\cal{D}$ ima parcijalne izvode prvog i drugog reda. Uočimo tačku $A(a_1,a_2)∈D$ i pretpostavimo da su $f_{xy}^{''}(x,y)$ i $f_{yx}^{''}(x,y)$ neprekidni (kao funkcije) na nekom krugu sa centrom u tački $A$ pozitivnog poluprečnika koji ceo pripada oblasti $\cal{D}.$
Tada je $$ f_{xy}^{''}(A)= f_{yx}^{''}(A) $$

Napomena. Pomenuta neprekidnost u prethodnom stavu nije najširi uslov da bi važila prethodna jednakost, ali za naše potrebe ovaj stav će biti dovoljan.

Video klip

Snimak sa Youtube-a