Totalni diferencijal prvog reda

Diferencijabilnost funkcije u tački
Napomene
Primer
Totalni diferencijal prvog reda u tački

Diferencijabilnost funkcije u tački

Kao i kod funkcije jedne promenljive diferencijabilnost funkcije u tački povlači i njenu neprekidnost u toj tački. Obrnuto ne mora da važi.

Neka je data funkcija $z=f(x,y)$ na $D ⊆ ℝ^2.$ Takođe, neka je $A(a_1, a_2)\in D.$ Za funkciju $f$ kažemo da je $\color{red} {\text{diferencijabilna u tački}}$ $A$ ako je \begin{align} \Delta f&=f(a_1+\Delta x,a_2+\Delta y)−f(a_1,a_2)=\\ &=C\cdot\Delta x+B\cdot\Delta y+ρ\cdot α(t), \end{align} gde je $ρ=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2},$ a $\Delta x$ i $\Delta y$ su priraštaji argumenta $x,$ odnosno $y,$ tim redom, pri čemu su $C$ i $B$ dve realne fiksirane konstante i $α(t)\to0,$ kada $t\to0.$
Iz prethodne formule kojom se zadaje diferencijabilnost funkcije $f$ u tački $A,$ vidimo da kod funkcija dve (iil više) promenljivih nemamo jedinstvenu numeričku veličinu koja će predstavljati njen izvod u tački $A,$ što je bio slučaj kod funkcije jedne promenljive, već za to imamo dva različita kandidata $C$ i $B.$

Pojam $\color{red} {\text{diferencijabilnost funkcije dve promenljive}}\,\,\,$ (kao i funkcije jedne promenljive), ravnopravan je sa činjenicom da je grafik posmatrane funkcije u toj tački gladak i za to imamo sledeće geometrijsko tumačenje: za funkciju $f$ u tački $A$ važi prethodna formula ako i samo ako $Γ _ f $ u tački $(a_1, a_2),f(a_1, a_2))$ ima jedinstvenu tangentnu ravan. Prva dva sabirka na desnoj strani prethodne formule čine glavni ili linearni deo posmatranog totalnog priraštaja, a treći sabirak njegov zanemarljiv deo. U slučaju funkcije dve promenljive, kao i u slučaju funkcije jedne promenljive, svojstvo diferencijabilnosti dato prethodnom formulom povlači svojstvo neprekidnosti te funkcije u tački $A.$ Obrnuto ne mora da važi.

$\textbf{Stav. } $ Funkcija $z = f ( x , y ) , $ $ ( x , y ) ∈ \cal{ D } ⊆ ℝ^2$ je diferencijabilna u tački $ A ( a _1, a_2) $ ako i samo ako u prethodno datoj formuli važi da je $$ C=f′_x(a_1,a_2) \text{ i } B=f′_y(a_1,a_2). $$ $ \textbf{ Napomena. } $ Na osnovu prethodnog stava možemo zaključiti da diferencijabilna funkcija $f$ u tački $A$ poseduje parcijalne izvode u toj tački. Obrnuto ne mora da važi.

U narednom stavu navodimo dovoljan uslov pod kojim će činjenice iz prethodne napomene i u obrnutom smeru da važe.

$ \textbf{ Stav. } $Neka je data funkcija $ z = f(x, y), (x, y) ∈ \cal{ D } ⊆ ℝ^2 $ i neka je $A (a_1, a_2) ∈ \cal{ D } . $ Takođe, neka u tački $ A $ postoje parcijalni izvodi $ f ′ _ x ( a _ 1 , a _ 2 ) $ i $ f ′ _ y ( a _ 1 , a _ 2 ) $ i neka su neprekidni kao funkcije u tački $ A (a _ 1, a _ 2 ) $ i neka su definisani na nekoj kružnoj okolini tačke $ A $ oblasti $\cal{ D } . $ Tada je funkcija $ f $ diferencijabilna u tački $ A .$

Napomene

Napomene u vezi sa diferencijabilnošću funkcije dve promenljive.

$\bf Napomena.\,\,$ Efektivno, redosled provere diferencijabilnosti funkcije dve promenjlive $y = f(x,y)$ u nekoj tački $M_0(x_0,y_0)$ bi bio sledeći:

1) odrede se parcijalni izvodi funkcije $f$ u tački $M_0(x_0,y_0);$

2) ako su oni neprekidni, funkcija je diferencijabilna u ovoj tački, a ako ovi izvodi ne postoje, tada funkcija nije diferencijabilna u njoj;

3) ako parcijalni izvodi postoje, a prekidni su funkcija može biti diferencijabilna. Tada treba proveriti da li totalni priraštaj funkcije $f$ u tački $M(x_0,y_0)$ može da se predstavi na jedna od sledeća dva načina:

$\quad\bullet$ $\Delta f(x_0, y_0) = f_x (x_0,y_0)\cdot h + f_y (x_0,y_0)\cdot g +o\left( \sqrt{h^2+g^2}\right),$ kad $h\to0$ i $g\to0,$ ili

$\quad\bullet$ $\Delta f(x_0, y_0) = f_x (x_0,y_0)\cdot h + f_y (x_0,y_0)\cdot g +\alpha (h,g)\cdot h + \beta (h,g)\cdot g,$ kad $h\to0$ i $g\to0,$

$\bf Napomena. \,\,$ Govorili smo za funkciju jedne promenljive, da kada određujemo njene lokalne ekstreme, može se desiti da ona nije diferencijabilna u nekoj tački svog domena. Takva tačka je takođe stacionarna tačka (ili kritična tačka) i ona može biti lokalni ekstrem funkcije. Analogno važi i za funkciju dve ili više promenljivih. U ovom slučaju za proveru se ne može koristi Silvesterov kriterijum. To ilustrujemo narednim promerom.

Primer

Određivanje lokalnih ekstrema funkcije u slučajevima kada funkcija nije diferencijabilna.

Odrediti lokalne ekstremume funkcije $$ f(x,y)=2-\sqrt[3]{x^2+y^2}. $$ $\bf Rešenje.\,$ Primetimo, najpre, da je domen ove funkcije cela realna ravan $\mathbb{R}^2.$ Dalje, važi da je $$ f_x^{'}=\frac{-2x}{3(x^2+y^2)^{\frac23}}, \quad f_y^{'}=\frac{-2y}{3(x^2+y^2)\frac23}, $$ pri čemu je $x^2+y^2≠0,$ tj. $(x,y)≠(0,0).$ Za dobijanje stacionarnih tačaka treba rešiti sistem $\left\{ \begin{array}{c} f_x^{'}(x,y)=0,\\ f_y^{'}(x,y)=0 \end{array}\right. $ koji ima jedinstveno rešenje tačku $(0,0).$ Kako se ova tačka nalazi u domenu funkcije, ona predstavlja jedinu stacionarnu tačku funkcije $f.$ Međutim, ova funkcija ne ispunjava uslov $(x,y)≠(0,0).$ Dakle, treba da proverimo da li je funkcija $f$ diferencijabilna u ovoj tački. Parcijalne izvode funkcije $f$ u tački (0,0) tražimo po definiciji $$ f_x^{'}(0,0)=f_y^{'}(0,0) = \lim\limits_{h\to0}\frac{2−h^{\frac23}−2}h = \lim\limits_{h\to0}\frac1{h^{\frac13}} = \left\{\begin{array}{rc} -\infty, & h\to0-\\ +\infty, &h\to0+ \end{array} \right. , $$ tj. u tački $(0,0)$ ne postoje parcijalni izvodi, pa funkcija $f$ tačka $(0,0)$ nije diferencijabilna.

Međutim, važi da je $$ f(x,y)=2−\sqrt[3]{x^2+y^2} 3 \leq 2 = f(0,0),$$ za svako $x , y ∈ \mathbb R,$ pa je tačka $(0,0)$ lokalni maksimum funkcije.

Totalni diferencijal prvog reda u tački

Iz pojma diferencijabilnosti funkcije u tački možemo izvesti pojam totalnog diferencijala u tački.

Iz formule $$ \Delta f=f(a_1+\Delta x,a_2+\Delta y)−f(a_1,a_2)=C\cdot\Delta x+B\cdot\Delta y+ρ\cdot α(t), $$ uočimo glavni deo $$ df=f′_x(a_1,a_2)\cdot\Delta x+f′_y(a_1,a_2)\cdot\Delta y . $$ On se naziva $\color{red} {\text{totalni diferencijal prvog reda}}\,\,\,$ funkcije $f$ u tački $A.$

Važi da je $\Delta x=dx$ i $\Delta y=dy,$ gde su $dx$ i $dy$ diferencijali funkcija $x=g(x)$ i $y=h(y)$ jedne realne promenljive (nezavisno po $x$ i po $y$), pa totalni diferencijal prvog reda može zapisati i u obliku $$ df=f′_x(a_1,a_2)\cdot dx+f′_y(a_1,a_2)\cdot dy. $$