Totalni diferencijal višeg reda
- Totalni diferencijal drugog reda
- Primer
08
Totalni diferencijal drugog reda
Totalni diferencijal drugog reda se može koristiti za određivanje lokalnih ekstrema.
Posmatrajmo ponovo formulu
$$
df=f′_x (a_1,a_2)\cdot dx+f′_y(a_1,a_2) \cdot dy .
$$
Možemo smatrati da je $ df $ funkcija dve nezavisne promenljive sa domenom u $\cal D$ i ponovo potražiti totalni diferencijal u tački $A.$ Na taj način dobijemo $\color{red} {\text{totalni diferencijal drugog reda}}\,\,\,$ funkcije $f$ u tački $A,$ koji označavamo sa $d^2f.$ Tada je
\begin{align*}
d^2f&=(df)'_xdx+(df)'_ydy=\\
&=(f''_{xx}dx+f''_{yx}dy)dx+(f''_{xy}dx+f''_{yy}dy)dy=\\
&=f''_{xx}(dx)^2+2f''_{xy}(dx)(dy)+f''_{yy}(dy)^2.
\end{align*}
Obično se $(dx)^2$ označava sa $dx^2$ i $(dy)^2$ sa $dy^2,$ pa prethodno možemo zapisati
$$
d^2f=f''_{xx}dx^2+2f''_{xy}dxdy+f''_{yy}dy^2.
$$
Kao što smo već rekli drugi totalni diferencijal funkcije igra važnu ulogu prilikom određivanja da li je neka stacionarna tačka $ M _ 0 ( x _ 0 , y _ 0 ) \in S $ lokalni ekstrem, kada u Silvesterovom pravilu za tu tačku dobijemo da je $\gamma = 0 . $ Naime, ako je totalni diferencijal drugog reda funkcije $f$ u tački $ M _ 0 ,$ odnosno
$$
d^2f(M_0)=f''_{xx}(M_0)\, dx^2+2f''_{xy}(M_0)\, dxdy+f''_{yy}(M _0)\, dy^2.
$$
stalnog znaka, nezavisno od $dx$ i $dy$ imamo da:
1) za $d^2f (M_0) > 0$ funkcija u tački $M_0$ ima lokalni minimum,
2) za $d^2f (M_0) < 0$ funkcija u tački $M_0$ ima lokalni maksimum,
3) za $d^2 f ( M_0) = 0$ ne može se ništa zaključiti o lokalnim ekstremima u tački $M_0$ i analiziranje se mora proširiti na diferencijale višeg reda, o čemu ovde neće biti reči.
Ako je $d^2 f ( M_0) $ menja znak, zavisno od promene $d x$ i $d y$, tada početna funkcija nema lokalni ekstrem u tački $M_0.$ Uočimo da u prethodnoj formuli veličine $f''_{xx} ( M_0) ,$ $f''_{xy} ( M_0) $ i $f ' ' _{ y y } ( M_0) $ predstavljaju tim redom veličine $A,$ $B$ i $C$ iz Silvesterovog kriterijuma.
Primer
Određivanje lokalnih ekstrema funkcije analizom znaka drugog diferencijala funkcije u tački.
Odrediti lokalne ekstreme funkcije
$$f(x,y)=x^3-2y^3-3x+6y.$$
$\textbf{Rešenje. } $ Iz sistema
\begin{equation*}
\begin{split}
& f'_x(x,y)=3x^2-3=0,\\
& f'_y(x,y)=6y^2-6=0,
\end{split}
\end{equation*}
imamo da je $x^2=1$ i $y^2=1,$ pa dobijamo četiri stacionarne tačke: $M_1(1,1),$ $M_2(-1,1),$ $M_3(1,-1),$ i $M_4(-1,-1).$
Odredimo, sada, druge parcijalne izvode, kako bismo proverili da li ove tačke jesu lokalni ekstremi
$$
f''_{x^2}=6x,\quad f''_{xy}=0,\quad f''_{y^2}=-12y.
$$
Provera za tačku $M_1.$
Imamo da je $f''_{x^2}(M_1)=6,$ $f''_{xy}(M_1)=0$ i $f''_{y^2}(M_1)=-12.$ Tada je
$$
d^2f(M_1)=6dx^2-12dy^2.
$$
Ako je $dy=dx$ tada je $d^2f(M_1)=-6dx^2<0,$ dok za $dy=\dfrac{1}{2}dx$ imamo $d^2f(M_1)=3dx^2>0.$ Kako je $d^2 f(M_1)$ promenljivog znaka nema lokalnih ekstremnih vrednosti.
Provera za tačku $ M _ 2 . $
Imamo da je $f''_{x^2} ( M _ 2 ) = -6,$ $f''_{xy} ( M _ 2 ) =0$ i $f ' ' _ { y ^ 2 } ( M _ 2 ) = - 1 2 , $ pa je
$$
d^2 f( M _ 2 )=-6d x^2-12d y^2=-(6d x^2+12d y^2)<0,
$$
za $d x^2+d y^2\neq 0,$ pa imamo lokalni maksimum. Tada je $f_{max}(-1,1)=6.$
Provera za tačku $ M _ 3 . $
Imamo da je $f''_{x^2}(M _ 3)=6,$ $f''_{xy} (M _ 3) =0$ i $f''_{y^2} (M _ 3) =12,$ pa je
$$
d^2 f (M _ 3) =6d x^2+12d y^2>0,
$$
za $d x^2+d y^2\neq 0,$ pa imamo lokalni minimum. Tada je $f_{min}(1,-1)=-6.$
Provera za tačku $ M _ 4 . $
Imamo da je $f''_{x^2}(M _ 4) =-6,$ $f''_{xy}(M _ 4) = 0 $ i $f ' ' _ { y ^ 2 } (M _ 4) = 1 2 ,$ pa je
$$
d^2(M _ 4)=-6d x^2+12d y^2.
$$
Ako je $d y=d x$ tada je $d^2 f(M _ 4)=6d x^2>0,$ dok za $d y=\dfrac{1}{2}d x$ imamo $d^2 f(M _ 4)=-3d x^2<0.$ Kako je $d^2 f(M _ 4)$ promenljivog znaka nema lokalnih ekstremnih vrednosti.
